1. Аксиомы статики. Связи и их реакции.

Аксиомы статики представляют собой результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений за равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только тогда, когда эти силы равны по модулю, и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Равновесие тела под действием двух сил

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил.

Следствие из 1 и 2. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии её действия в любую другую точку тела (рис. 1.6).

Пусть на тело действует сила F , приложенная в точке А. Приложим на линии действия силы F две уравновешенные силы F₁ и F₂ F₁  F F₂ . Но силы F и F₂ также образуют уравновешенную систему сил. В результате на тело будет действовать только сила F₁ , равная силе F , но приложенная в точке В. Такой вектор называют скользящим.

Рис. 1.6. Скользящий вектор

Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Равнодействующая двух сил

Вектор R – геометрическая сумма векторов F₁ и F₂ .

R  F 1  F 2 .

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Взаимодействие двух тел

Если тело I действует на тело II с силой F, а тело II действует на тело I с силой P (рис. 1.8), то эти силы равны по модулю (F = P) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то есть F = - Р .

Если обозначить через F силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой - F.

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушается, если тело считать абсолютно твердым.

Аксиома 6. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить связи, заменив их соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции

Тело называется свободным, если его перемещение в пространстве ничем не ограничено. В противном случае тело называется несвободным.

Все то, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве, называется связью. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется реакцией связи.

Силы, не являющиеся реакциями связей, принято называть активными

(или заданными).

Основные виды связей и их реакции:

1. Гладкая поверхность или опора (рис. 1.9).

Линия действия реакции гладкой поверхности направлена по нормали к общей касательной соприкасающихся поверхностей тел независимо от сил,

приложенных к рассматриваемому телу. N А и N B направлены от опорной поверхности к телу (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Гладкая поверхность

2. Невесомая, нерастяжимая нить (рис. 1.10).

Под термином «нить» в теоретической механике понимают, кроме собственно нитей, также любую гибкую связь: трос, канат, веревку и т. п. Реакция нити направлена вдоль нити и в сторону подвеса (нить растянута).

Рис. 1.10. Нерастяжимая нить

3. Цилиндрический шарнир (рис. 1.11).

Цилиндрический шарнир представляет собой втулку с осью.

В этом случае заранее известно только то, что реакция проходит через ось шарнира перпендикулярно этой оси, так как шарнирное соединение допускает вращение вокруг оси, но не допускает перемещений тела, перпендикулярных

этой оси. Реакции шарниров (А или

В)

R А и R B изображаются их

составляющими X А, Y B или X B ,

Z B ,

параллельными выбранным

координатным осям.

Рис. 1.11. Цилиндрический шарнир

4. Подвижная шарнирная связь (опора на катках) (рис. 1.12).

Если втулка закреплена на подвижной опоре с катками, то давление оси на втулку заставляет такую конструкцию перемещаться по поверхности качения. Поэтому реакцию (силу, с которой ось действует на втулку) принимают направленной перпендикулярно к плоскости качения.

Рис. 1.12. Подвижная шарнирная связь

5. Сферический шарнир и подпятник (рис. 1.13).

Шарнир этого типа представляет собой шар в сфере. Подобный шарнир ограничивает перемещение центра шарнира, и, следовательно, реакция может

иметь любое направление в пространстве			(рис. 1.13, а). Реакция			R А
изображается её составляющими ( X А, Y А ,				Z А ), параллельными		осям

к оординат. И по найденным составляющим подсчитывают модуль реакции R А. Подпятник ограничивает перемещение вала как в поперечном направлении, так и вертикальном (рис. 1.13, б). Поэтому реакция R В, как и в предыдущем случае, неизвестна по модулю и по направлению и с ней поступают так же, как и в случае со сферическим шарниром.

a) б)

Рис. 1.13. Сферический шарнир и подпятник

6. Невесомые стержни (с шарнирами на концах) (рис. 1.14).

Р еакции R B и RС направлены по осям стержней в произвольном направлении. (Стержни могут работать и на сжатие, и на растяжение.) В случае изогнутых стержней линия действия реакции R А проходит через оси шарниров.

Рис. 1.14. Невесомые стержни

7. Жесткая заделка (рис. 1.15).

Такая связь препятствует перемещению и повороту вокруг точки закрепления А. В данном случае, имеем распределенную систему сил реакций, которая может быть заменена одной силой и парой сил. При этом векторы силы и момента пары удобно разложить на составляющие по координатным осям. На рисунках действие пары на твердое тело изображается стрелкой в виде дуги, показывающей направление действия пары, с указанием её момента. Таким образом, в пространственной системе реакция заделки будет представлена тремя силами X А, Y А , Z А и тремя моментами М Аx , М Аy , М Аz .

В плоской заделке реакция будет представлена двумя силами X А, Y А и

моментом пары М А (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Жесткая заделка

Аксиома связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей.

2. Геометрический способ сложения и разложения сил. Равнодействующая сходящихся сил.

1. Геометрический способ сложения сходящихся сил

Силы, действующие на тело, называются сходящимися, если линии их действия пересекаются в одной точке.

1. Если к телу приложены две силы, линии действия которых пересекаются, то их равнодействующая определяется по правилу параллелограмма (рис. 2.1, а) или построением силового треугольника (рис. 2.1, б).

а) б) Рис. 2.1. Сложение двух сил

R  F₁  F₂

Модуль равнодействующей можно определить по теореме косинусов:

R ²  F₁²  F₂²  2 F₁ F₂ cos180 ⁰   

18.  F₁²  F₂²  2F₁F₂ cos

2. Геометрическая сумма трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 2.2).







; R  F 2

 F 2

 F 2

R

F

F

F

1

2

3

1

2

3

В справедливости полученной формулы можно убедиться, применяя последовательно правило параллелограмма.

Рис. 2.2. Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости

3. Геометрическая сумма любой системы сходящихся сил определяется либо последовательным сложением по правилу параллелограмма, либо построением силового многоугольника. Для нахождения равнодействующей вторым способом откладываем из произвольной точки последовательно векторы сил, при этом соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор равнодействующей (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Сложение системы сил

R  F₁  F₂  F ₃ F₄ или R  ∑F k

По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке. Применяя правило параллелограмма, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил и приложенную в точке их пересечения.

2.3. Разложение силы на сходящиеся составляющие

Разложить данную силу на несколько составляющих значит найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение при определенных условиях. Рассмотрим 2 наиболее важных частных случая.

1. Разложение силы по двум заданным направлениям (рис. 2.6)

Рис. 2.6. Разложение сил по заданным направлениям

Для такого разложения силы необходимо построить параллелограмм, у которого равнодействующая будет являться диагональю, а стороны будут параллельны прямым AB и AС. Для решения задачи проводим через начало и конец силы R прямые, параллельные AB и AС. Силы F и Р и будут искомыми составляющими. Тогда R  F  P . Можно построить также силовой треугольник.

2. Разложение силы на две с заданными численными значениями.

Из начала и конца вектора АВ проводим 2 дуги радиусами, равными в выбранном масштабе заданным значениям сил (рис. 2.7). Эти дуги пересекутся в точках С и D.

Соединим точки А, С и D и получим векторы АС и АD. Относительно каждого вектора строим параллелограмм, считая вектор равнодействующей диагональю.

Рис. 2.7. Разложение сил с заданными численными значениям

Задача. Груз весом 6000 Н подвешен симметрично на двух одинаковых металлических стержнях, угол между которыми 30⁰ (рис. 2.8). Какова сила, растягивающая стержень?

Решение Реакция стержней направлена вдоль стержней. Раскладываем силу тяжести по

двум направлениям и получаем 2 силы Т₁ и Т₂ , причем в силу симметрии

Т₁  Т₂  Т .

Рис. 2.8. Расчетная схема

Численно получим:

P  T₁²  T₂²  2T₁T₂ cos 30⁰  T 2  1  cos 30⁰ 

		P				6000
T 								 3105 ,8 Н
		2  1  cos 30 0 				2  ( 1  0 ,866 )

О твет: Т = 3105,8 Н.

3. Проекция силы на ось и на плоскость. Аналитический способ задания и сложения сил. Равновесие системы сходящихся сил.

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора силы на ту же ось.

Из определения следует, что проекция данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны между собой (рис. 2.9).

П роекция считается положительной, если переход от ее начала к концу совпадает с заданным положительным направлением оси, и отрицательной - если с противоположным.

а) б) Рис. 2.9. Проекция вектора на ось

Проекцию вектора на ось принято обозначать теми же буквами, указывая нижним индексом ось проекций. Из рис. 2.9, а и б имеем:

Q_x  ab  AB'  Q cos  ,

Q'_x cd CD' Qcos

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси проекций:

Q_x  Q cos( Q, x )

Проекция будет положительной, если направление вектора составляет с положительным направлением оси острый угол, и отрицательной - если тупой.

Проекцией вектора на плоскость называют вектор, заключенный между проекциями на эту плоскость начала и конца данного вектора.

Для нахождения проекции вектора на ось, не лежащую с ним в одной плоскости, удобно спроецировать сначала вектор на плоскость, в которой лежит эта ось, а затем уже проекцию вектора на плоскость на данную ось (рис.

2.10).

Рис. 2.10. Проекция вектора на плоскость

F_xy  F cos

F_x  F_xy cos   F cos  cos 

F_y  F_xy sin   F sin  cos 

Для решения задач бывает удобно задавать силу её проекциями:

Fx		 F cos
		 F cos 
Fy
	Fz	 F cos

Зная проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат, легко найти и модуль, и направление вектора

F  F_x i  F_y  j  F_z  k

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на три любые взаимно перпендикулярные оси.

F  F_x²  F_y²  F_z²

Углы α, β и γ – соответственно углы между вектором силы и осями координат. Их значения можно определить по значениям направляющих косинусов:

	F		Fy			F
cos 	x	; cos  		;	cos 	z	;
			F
	F					F

cos²   cos²   cos²   1

Аналитический способ сложения сил

• теоретической механике используется известная из векторной алгебры теорема о равенстве проекции суммы векторов на любую ось сумме проекций этих векторов на ту же ось.

Теорема. Проекция геометрической суммы сил (их равнодействующей) на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось (рис. 2.11).

Доказательство. Пусть мы имеем силовой многоугольник F₁ ,F₂ ,F₃ ,R .

Спроецируем все силы на ось х.



R

F1  F2  F3 ;

B

F2

C

F1

A

F3

R

Î

D

x

a

b

d

c

Рис. 2.11. Проекция равнодействующей на ось

R_x  ad ; F_1x  ab; F_{2 x}  bc; F_{3 x} сd

F_1x  F_{2 x}  F_{3 x}  ab  bc  cd  ad  R_x

R_x  F_1x  F_{2 x}  F_{3 x}

Условия равновесия системы сходящихся сил

Всякая система сходящихся сил может быть заменена равнодействующей, равной ее главному вектору. Если система сходящихся сил находится в равновесии, то ее равнодействующая (а, следовательно, и ее главный вектор) должна равняться нулю.

Для того чтобы система сходящихся сил была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий. 1. Условие равновесия в аналитической форме.

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

R  R_x²  R_y²  R_z²  0 .

Равнодействующая может равняться нулю только в том случае, если будет равняться нулю каждое из подкоренных слагаемых. Но проекция равнодействующей на ось равна сумме проекций слагаемых сил на ту же ось,

например: R_х  ∑F_kx . Тогда уравнения равновесия примут вид:

∑F_kx  0; ∑F_ky  0; ∑F_kz  0 .

Для равновесия плоской системы сходящихся сил могут быть составлены только два уравнения равновесия.

2. Условие равновесия в геометрической форме.

Так как равнодействующая системы сходящихся сил является замыкающей стороной силового многоугольника, то для равновесия необходимо, чтобы многоугольник был замкнутым.

4. Момент силы относительно центра.

Под действием силы твердое тело наряду с поступательным перемещением может совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект действия силы характеризуется её моментом.

Допустим, что сила F , приложенная в точке А, стремится повернуть тело вокруг центра О (рис. 2.14). Тогда моментом силы F относительно точки О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Плечом силы F относительно центра О называется длина перпендикуляра h, опущенного из центра О на линию действия силы F .

Рис. 2.14. Момент силы относительно центра (точки)

Момент силы F относительно центра О будем обозначать символом

M_O F. Следовательно,

M_O FF h

Момент силы относительно точки – величина векторная. Вектор момента лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости, в которой расположена сила, а его направление определяют по правилу правого винта. Численная величина момента силы может иметь положительное и отрицательное значения. В теоретической механике принято считать, что момент положителен, когда сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицателен – если по ходу часовой стрелки.

Измеряется момент силы в Н·м.

Момент силы имеет следующие свойства:

1. не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линии её действия;

2. равен нулю, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр вращения.

3. Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ.

F h  2S_OAB

5. Момент пары сил. Сложение пар сил.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Пара сил не имеет равнодействующей. Система сил, образующих пару,

не является уравновешенной, что прямо следует из аксиомы 1 (разд. 1.2). Плоскость, проходящая через линии действия сил, называется плоскостью действия пары. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары d называется плечом пары (рис.3.3).

Рис. 3.3. Момент пары

Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному движению, которое зависит:

– от модуля сил пары и длины её плеча;

– положения плоскости действия пары;

– направления поворота в этой плоскости.

Пара сил характеризуется величиной момента. Моментом пары называется величина, равная произведению модуля одной из сил пары на её плечо.

M F  d

Момент пары – величина векторная; вектор момента пары лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости действия пары и направляется по правилу правого винта (рис. 3.4).

Момент пары может быть представлен в виде векторного произведения:

		Ì1
	Ì1	Ð'2
P1
	Ð'1
		P2
		Ì2

Рис. 3.4. Определение направления вектора момента пары

Момент пары — вектор свободный, он не связан с какой-либо точкой или линией действия, что ясно из приведенной ниже теоремы.

Теорема. Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра, лежащего в плоскости её действия, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары.

Доказательство. Рассмотрим сумму моментов сил F и F' пары относительно произвольной точки пространства О (рис. 3.5):

Рис. 3.5. Сумма моментов сил относительно центра

M _O F  Ob  F   Oa  F  Oa  Ob  F  ab  bO  Ob  F  d

Полученная величина действительно не зависит от выбора точки О.

Сложение пар.

Приведенная ниже теорема говорит о том, как складывать пары сил, т. е. как найти одну пару, эквивалентную системе пар.

1. Плоская система пар.

Теорема. Система пар, действующих на твердое тело, эквивалентна одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство. Пусть на тело действуют три пары с моментами

М₁ , М ₂ , М₃ (рис. 3.8).

На основании теоремы об эквивалентности пар мы можем заменить эти пары тремя парами Р₁ , Р₁ ,Р₂ , Р₂ ,Р₃ , Р₃  , имеющими общее плечо d. Сложив отдельно силы в соответствующих точках, получим:

R  R  P₁  P₂  P₃ ,

в результате чего получится одна пара R , R .

Рис. 3.8. Действие системы пар на тело, лежащих в одной плоскости

M  R  d  P₁  d  P₂  d  P₃  d  M ₁  M ₂  M ₃

Для случая трех пар теорема доказана. Система, состоящая из n пар моментами М₁, М₂… М_n, заменится одной парой с моментом:

^М  ∑^М_k

Из доказанной теоремы вытекает, что для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю.

Условие равновесия плоской системы пар ∑ M _k  0 .

2. Пространственная система пар.

Теорема. Система пар, действующих на твердое тело, эквивалентна одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов слагаемых пар. Пара, действие которой на тело эквивалентно действию всех данных пар, называется результирующей.

Доказательство. Рассмотрим сначала сложение двух пар (F₁, F₁') и (F₂, F₂'), лежащих в пересекающихся плоскостях I и II с моментами М₁ и М₂ (рис. 3.9). На линии пересечения плоскостей возьмем отрезок АВ = d, который примем за плечо, и приведем обе данные пары к этому плечу.

Рис. 3.9. Действие на тело нескольких пар, лежащих в произвольных плоскостях

Тогда: M 1  F1  d ;	M 2  F2  d . Изобразим векторы моментов этих пар.
Заменим силы F1 и F2	равнодействующей		R				R		, тогда

M  R  d  F₁  d  F₂  d  M₁  M₂

Таким образом, момент М результирующей пары равен геометрической сумме моментов составляющих пар, т.е. изображается по модулю и по направлению диагональю параллелограмма, построенного на моментах составляющих пар.

Если на тело действуют n пар с моментами М₁, М₂,… М_n, тогда

М  ∑М_k . Если слагаемые векторы не лежат в одной плоскости, то подсчет удобнее вести аналитически. Из теоремы о проекции суммы векторов на ось можно записать:

M _x  ∑M kx ; M _Y  ∑M ky ; M _Z  ∑M kz

M  M _x²  M _y²  M _z²

Условия равновесия пар сил:

∑ ^M kx  ^0; ∑ ^M ky  ^0; ∑ ^M kz  ⁰

Таким образом, моменты пар складываются аналогично тому, как складываются сходящиеся силы. Для двух пар сложение моментов будет по правилу параллелограмма или треугольника моментов. Для нескольких пар - по правилу, аналогичному правилу силового многоугольника, - правилу многоугольника моментов. Сумма моментов будет замыкающей стороной этого многоугольника (рис. 3.10).

Ì1		Ì2
Ì2	Ì1
		Ì3
Ì3	Ì	Ìn
Ìn

Рис. 3.10. Сложение моментов пар

6. Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Главный вектор и главный момент.

3. Условия равновесия произвольной плоской системы сил

1. Основная форма условий равновесия

R  0; М O  0

R  R_x²  R_y² R_x  ∑ F kx  0 R_y  ∑ F ky  0 М O  ∑ М_O F k 

Следовательно, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра,

лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

∑ F_kx  0; ∑ F_ky  0; ∑M _O F k  0

2. Вторая форма условий равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось, не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

∑M A 

k  0;

∑M B 

k  0;

∑ Fkx  0

F

F

Если ∑M A 

k  0; ∑M B 

k  0 , тогда система

не может находиться в

F

F

равновесии, а иметь равнодействующую

, проходящую через точки А и В. Но

R

по третьему условию ∑ Fkx  0 ,

так как ось проведена не перпендикулярно

линии АВ, то последнее условие может быть выполнено когда R  0 . 3. Третья форма условий равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых трех центров, не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

∑M _A F k  0; ∑M _B F k  0; ∑M _С F k  0

Для плоской системы сил во всех случаях получаются три условия равновесия. Основными считаются первые условия, так как в этом случае никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов не накладывается.

7. Определение опорных реакций балок.

5.2. Определение реакций опор составной конструкции

Угольник АЕС, конец которого имеет в точке А неподвижный шарнир, соединен шарнирно с балкой в точке С, а в точке D невесомый стержень DD^׳ (рис. 5.2). У балки ВС в точке В опора - гладкая поверхность. На раму действуют распределенная нагрузка интенсивности q = 10 кН/м, пара сил с моментом М = 40 кН ^. М, сосредоточенные силы F₁ = 10 кН, F₂ = 20 кН. При расчете принять а = 0,4 м, α₁ = 45°, α₂ = 30°.

Требуется определить реакции в опорах А, В, С, D.

Рис. 5.2. Расчетная схема Решение

Для определения опорных реакций в точках А и В заменим неподвижные шарниры силами X A ,Y A ,R B ,R D . Получили один раз статически неопределимую систему (число неизвестных на единицу больше числа уравнений равновесия). Для раскрытия статической неопределимости расчленим систему в точке С и рассмотрим равновесие каждой части отдельно

(рис. 5.3, 5.4).

Рассмотрим равновесие балки СВ (рис.5.3).

Рис. 5.3. Расчетная схема

Получили произвольную плоскую систему сил, для которой составим три уравнения равновесия

∑ F_kx  0; ∑ F_ky  0; ∑M _С F k  0

При вычислении момента силы RB раскладываем ее на составляющие

R Bx , R By , и применяем теорему Вариньона:

∑M _C F k  0 ;

			 М  RB  8a  cos 30 o = 0,
откуда
RB			M		40	 14,43	кН.
		8a	cos 30o		8 0,4 0,866

∑^Fkx ^0;

Х_С  F₁ cos₁  R_B 0 ,

откуда

Х_С  R_B  F₁ cos₁ 14,43100,7077,36 кН.

∑ ^Fky  ^0;

Y_С  F₁ sin₁ 0 ,

откуда

Y_С F₁ sin₁ 100,7077,07 кН.

Рассмотрим равновесие угольника АЕС (рис.5.4).

Q  q 8a  10 8 0,4  32 кН.

Для этой плоской системы сил составим три уравнения равновесия

∑ F_kx  0; ∑ F_ky  0; ∑М _А( F k )  0 .

Рис. 5.4. Расчетная схема угольника

∑М _А( F k )  0 ;

• Q  ^10a  F₂ cos₂  10a  F₂ sin₂  2a  R_D cos60^o  10a  2

  • R_D sin 60 ^o  6 a  Y_C  8a  X _C  10a  0 ,

R_D 1684,9 кН.

∑^Fkx ^0;

• _А  Q  F₂ cos ₂  R_D cos 60 ^o  X _C  0 ,

• _А  899,13 кН.

∑ ^Fky  ^0;

Y

А

 F

sin

2

 R

D

sin 60 o  У

C

 0 ,

2

YА 1476,19 кН.

Ответ:

ХА  899,13

кН,

YА 1476,19

кН,

RD 1684,9 кН, RB 14,43 кН.

Знаки

«минус»

указывают, что

силы

направлены противоположно

направлениям, показанным на рисунках.

8. Момент силы относительно оси.

Проведем через точку А плоскость, перпендикулярную оси z и обозначим буквой О точку пересечения оси с плоскостью. Разложим силу F на составляющие. Сила F_Z не может повернуть тело вокруг оси Оz, а сила F XY

образует момент: M _z F  m _z F xy , но момент силы F_xy относительно оси Оz

равен моменту той же силы относительно точки О:

M _z F xy  M _O F xy  F_xy  h

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки

пересечения оси с плоскостью. Знак момента определяем аналогично плоской системе сил, однако смотреть на схему необходимо навстречу оси.

Частные случаи.

1. Если сила параллельна оси, то её момент относительно оси равен нулю.

2. Если линия действия силы пересекает ось, то её момент относительно оси равен нулю.

3. Если сила перпендикулярна оси, то её момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

9. Условия равновесия произвольной системы сил.

Произвольная пространственная система сил заменяется одной силой и одной парой, но сила и пара не могут уравновесить друг друга. Следовательно, для уравновешенности системы сил требуется, чтобы не было ни силы, ни пары. Отсюда и получаются приведенные ниже условия уравновешенности произвольной пространственной системы сил.

1. В векторной форме:

главный вектор системы сил и главный момент системы сил

относительно некоторой точки должны быть равны нулю:

R  0, M O  0

2. В геометрической форме:

силовой многоугольник и многоугольник моментов должны быть

замкнуты.

3. В аналитической форме:

для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо

и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы сил были

равны нулю. Но они могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат.

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси координат и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

∑ Fkx  0		∑ M x (						k )  0
				F
∑ Fky	 0	∑ M y (							k )  0
					F
∑ Fkz	 0	∑ M z (				k )  0
			F

10. Способы задания движения точки. Траектории.

Движение точки считается заданным, если указан способ, позволяющий определить положение точки в каждый момент времени относительно выбранной системы отсчета.

Существует несколько способов задания движения точки. Рассмотрим три наиболее важных из них (с практической точки зрения).

Векторный способ

Положение движущейся точки М по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz в любой момент времени можно определить, зная закон изменения радиус-вектора r , т.е. зная функцию r = r (t ) (рис. 2.1). Траектория движущейся точки определяется геометрическим местом концов радиус-вектора r . Линия, которую описывает конец переменного вектора, называется годографом этого

вектора. Таким образом, траектория точки М является годографом её радиус-вектора.

z

k

M(x,y,z)

r

o	y

i _j

x

Рис. 2.1

Координатный способ

Положение точки М по отношению к данной системе отсчета можно определить её декартовыми координатами. При движении все эти координаты с течением времени могут изменяться. Чтобы знать закон движения точки, необходимо знать значения её координат в любой момент времени:

x = f₁ (t ), y = f₂ (t), z = f₃ (t).

Эти равенства, взятые вместе, однозначно определяют положение точки в каждый момент времени, т. е. задают ее движение. Они, кроме того, представляют и уравнение траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Если требуется определить уравнение траектории в явной форме, то время из уравнений следует исключить.

При введении единичных векторов координатных осей i , j , k (ортов) легко получить связь между векторным и координатным способами задания движения точки. Эта связь устанавливается следующим простым равенством:

r = x × i + y × j + z × k .

Задача. Точка М совершает плоское движение согласно уравнениям:

10. = 6 + 3 t , см; y = 4t , см. Определить траекторию точки.

Решение

Для определения траектории исключаем из уравнения движения время.

Для этого выразим t из второго уравнения и подставим в первое.

t =	y	;	x = 6 +	3	y;
4			4
x = 6 + 0,75 y – траектория точки М – прямая линия.
Прямую можно построить по двум точкам:
при			х = 0 y = -8 см,
при			y = 0 х = 6 см.
		С увеличением времени координаты точки растут, таким образом, не вся

прямая является траекторией точки М, а только её часть (рис. 2.2). При t = 0 x = 6 , y = 0 .

Рис. 2.2

Естественный способ

Этот способ задания движения точки применяется в том случае, когда траектория точки заранее известна.

Пусть траекторией будет некоторая кривая. Выберем на траектории неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета (рис. 2.3). Положение точки М на траектории будем определять криволинейной координатой S, предварительно условившись о положительном и отрицательном направлении отсчета. При движении точки М дуговая координата является функцией времени S = f (t), это и есть закон движения точки М по траектории.

Рис. 2.3

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, нужно знать:

• траекторию точки;

• начало отсчета с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета;

• закон движения точки вдоль траектории.

Следует иметь в виду, что криволинейная координата S определяет положение движущейся точки, а не пройденный путь. Например, если точка

• начала двигаться из точки отсчета О в положительном направлении,

прошла по траектории 5 м и затем вернулась в точку О, то конечное значение ее дуговой координаты будет равно нулю, а пройденный путь составит 10 м.

11. Скорость и ускорение точки.