|
Рабочая тетрадь предназначена для студентов 1 курса, изучающих дисциплину «Математика». В пособии приводится основной теоретический материал по разделу «Стереометрия». Для каждой теоремы студент должен самостоятельно построить чертеж.
Рабочая тетрадь содержит набор заданий на готовых чертежах, которые помогут студентам на начальном этапе при решении задач. Эти задания отражают обязательный уровень освоения темы. Для повышенного уровня имеется список задач, в которых студентам предлагается самостоятельно построить чертеж к задаче и решить её.
Аксиомы стереометрии
Все аксиомы планиметрии.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости (прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую).
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (т.е. плоскости пересекаются по прямой).
Следствия из аксиом
1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Взаимное расположение прямых
1. Пересекающиеся прямые – имеют общую точку.
2. Параллельные прямые – лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. Скрещивающиеся прямые – не лежат в одной плоскости.
Свойства
Теорема 1. Через любую точку плоскости пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Теорема 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Признак. Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещивающиеся.
Теорема 3 Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Угол между прямыми
пересекающимися: меньший из четырех полученных при пересечении углов.
параллельными: равен нулю.
скрещивающимися: через любую точку пространства провести прямые, параллельные данным; найти угол между полученными пересекающимися прямыми.
Взаимное расположение плоскостей
1. Пересекающиеся, если имеют общую точку.
2. Параллельными, если не имеют общих точек.
Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Свойства
Теорема 1
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.
Теорема 2
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны.
Взаимное расположение прямой и плоскости
1. Прямая лежит в плоскости.
2. Прямая пересекает плоскость в точке.
3. Прямая параллельна плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая параллельна какой-либо прямой лежащей в плоскости, то эта прямая параллельна плоскости.
Свойства
Теорема 1
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в данной плоскости.
Перпендикулярность
Определение 1 Перпендикулярными называются прямые, между которыми угол равен 900 (пересекающиеся или скрещивающиеся).
Определение 2 Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Свойства
Теорема 1 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Теорема 2 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к плоскости и притом только одна.