12. Метод главных компонент. Его преимущества и недостатки при построении моделей. Компоненты и факторы, их взаимосвязи.

Метод главных компонент является одним из самых эффективных вычислительных средств, позволяющих оценить коэффициенты эконометрической модели при плохой обусловленности матрицы (XX), вызванной сильной корреляционной зависимостью между некоторыми объясняющими переменными.

Вычислительные преимущества метода главных компонент достаточно очевидны, особенно в ситуациях, когда число независимых переменных достаточно велико и даже не слишком значительные корреляции между ними делают матрицу XX плохо обусловленной.

Главные компоненты (новые переменные z_jt) формируются как линейные комбинации “старых центрированных переменных” с учетом введения для них двух следующих принципиальных ограничений.

1. Полная совокупность главных компонент должна содержать в себе всю изменчивость переменных x_i, i=1,2,..., n.

2. Главные компоненты должны быть ортогональны между собой, т. е. для любой пары компонент j и r, jr должно выполняться соотношение

Как уже было отмечено выше, в том случае, когда матрица ( ) является плохо обусловленной, но ее определитель отличен от нуля,  0, теоретически общее число главных компонент совпадает с числом объясняющих переменных п. Однако информативная ценность главных компонент различна. Компоненты с большими номерами, как правило, определяют лишь незначительную долю общей изменчивости переменных и их обычно не включают в эконометрическую модель. Решение о том, на какой компоненте целесообразно остановиться может быть принято на основе анализа кумулятивной переменной I(_r).

При разномасштабных исходных факторах различной природы рекомендуется главные компоненты строить на основе их нормированных безразмерных величин. Их получают путем следующего преобразования: где – cреднеквадратическое отклонение переменной x_i, i=1, 2,..., n.

В этом случае удается избежать влияния масштаба переменных x_i на оценки параметров моделей и легко оценивается истинное влияние каждой из них и на главные компоненты и на зависимую переменную у_t.

13. Модели с лаговыми независимыми переменами. Основные подходы и процедур оценки их параметров. Метод ш.Алмон

Модели с лагами (модели с распределенными лагами) — это модели, содержащие в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные.

Моделью с распределённым лагом называется динамическая эконометрическая модель, в которую включены не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных.

С помощью модели с распределённым лагом можно охарактеризовать влияние изменения факторной переменной х на дальнейшее изменение результативной переменной у, т. е. изменение х в момент времени t будет оказывать влияние на значение переменной у в течение L следующих моментов времени.

Пример модели с распределённым лагом: y_t=β₀+β₁x_t+β₂x_t–1+…+βLx_t–L+ε_t.

Краткосрочным мультипликатором называется коэффициент β₁модели с распределённым лагом

Краткосрочный мультипликатор характеризует среднее абсолютное изменение переменной y_t при изменении переменной x_t на единицу своего измерения в конкретный момент времени t при элиминировании влияния лаговых значений переменной х.

Коэффициент β₂ модели с распределённым лагом характеризует среднее абсолютное изменение переменной y_t в результате изменения переменной х на единицу своего измерения в момент времени t–1.

Промежуточным мультипликатором называется сумма коэффициентов β₁ и β₂модели с распределённым лагом.

Промежуточный мультипликатор характеризует совокупное влияние факторной переменной х на переменную у в момент времени (t+1). Таким образом, изменение переменной х на единицу в момент времени t вызывает изменение переменной у на β₁ единиц в момент времени t и изменение переменной у на β₂ в момент времени (t+1).

Средним лагом называется средний период времени, в течение которого будет происходить изменение результативной переменной у под влиянием изменения факторной переменной х в момент t:

Если величина среднего лага небольшая, то переменная у достаточно быстро реагирует на изменение факторной переменной х.

Если величина среднего лага большая, то факторная переменная х медленно воздействует на результативную переменную у.

Медианным лагом называется период времени, в течение которого с момента начала изменения факторной переменной х будет реализована половина её общего воздействия на результативную переменную у.

Оценка моделей с лагами в независимых переменных

 Оценка модели с распределенными лагами во многом зависит от того, конечное

y_t = a + b₀×x_t +b₁×x_t-1 …+ b_k×x_t-k + e_t,

или бесконечное число лагов она содержит.

y_t = a + b₀·×x_t +b₁·×x_t-1 …+ b_k·×x_t-k +…+ e_t. (11.3)

В обеих этих моделях коэффициент b₀ называют краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной X в тот же самый момент времени.

Сумму всех коэффициентов называют долгосрочным мультипликатором, так как она характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной X в каждом из рассматриваемых временных периодов.

Любую сумму коэффициентов (m < k) называют промежуточным мультипликатором.

Модель с конечным числом лагов (11.1) оценивается достаточно просто – сведением ее к уравнению множественной регрессии. В этом случае полагают Х₀= х_t, X_l = x_t-1, ..., X_k = x_t-k и получают уравнение

y_t = a + b₀×X₀ +b₁×X₁ …+ b_k×X_k + e_t, (11.4)Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Алмон или лаги Алмон.

Данный метод можно применять к моделям, которые характеризуются полиномиальной структурой лага и конечной величиной лага L:

y_t=β₀+β₁x_t+β₂x_t–1+…+βLx_t–L+ε_t. (1)

Структура лага определяется графическим методом при отражении зависимости параметров при факторных переменных от величины лага.

Алгоритм метода Алмон реализуется в несколько этапов:

Суть метода Алмон состоит в следующем:

1) зависимость коэффициентов при факторных переменных β_i от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:

а) первого порядка β_i=c₀+c₁*i

б) второго порядка

в) третьего порядка

г) в общем случае полиномиальной функцией порядка P:

Подобный метод оценивания коэффициентов β_i называется полиномиальной аппроксимацией.

2) каждый коэффициент модели (1) можно выразить следующим образом:

β₁=c₀;

β₂=c₀+c₁+…+c_P;

β₃=c₀+2c₁+4c₂+…+2Pc_P;

β₄=c₀+3c₁+9c₂+…+3Pc_P;

…

βL=c₀+Lc₁+L2c₂+…+L_Pc_P.

Подставим полученные выражения для коэффициентов β_i в модель (1):

y_t=β₀+c₀x_t+(c₀+c₁+…+c_P)x_t–1+…+( βL=c₀+Lc₁+L2c₂+…+L_Pc_P)x_t–L+ε_t.

3. в полученном выражении перегруппируем слагаемые:

Пусть:

…

С учётом новых переменных модель примет вид:

y_t=β₀+c₀z₀+c₁z₁+…+c_Pz_P+ε_t. (2)

4) оценки неизвестных коэффициентов модели (2) можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Далее на основе полученных оценок коэффициентов c_i (i=0,P)

5) находим оценки коэффициентов β_i (i=1,L) модели (1), используя соотношения, полученные на первом шаге.