Высшая математика
Контрольная работа №5
Теория рядов
Пример решения варианта контрольной работы
Задача 1. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
||
,
Решение. а) Запишем формулу общего члена ряда в виде
.
Как
легко убедиться при n=1,2,3,4
будут получаться члены исходного ряда.
Проверим, выполняется ли необходимое
условие сходимости рядов:
.
Вычисляем предел
.
Таким образом, необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно, исходный ряд является расходящимся.
б)
Данный ряд является знакочередующимся,
следовательно, к нему можно применить
признак
Лейбница:
если
члены знакочередующегося ряда
убывают по абсолютной величине
и
,
то такой ряд сходится.
Для исходного ряда все условия признака
Лейбница выполняются, следовательно,
данный ряд является сходящимся. Исследуем
теперь данный ряд на абсолютную
сходимость:
ряд
называется
абсолютно сходящимся, если сходится
ряд
.
В данном случае исследуем на сходимость
ряд:
и
сравним его с рядом
.
Поскольку
,
то этот ряд будет расходящимся. Применим
предельный
признак сравнения:
два
знакоположительных ряда
и
сходятся и расходятся одновременно,
если существует предел
.
В данном случае
.
Поскольку эталонный ряд расходится, то и сравниваемый ряд тоже расходится. Таким образом, исходный ряд является абсолютно расходящимся. Поскольку, по признаку Лейбница, мы получили, что он сходится, следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.
в)
Применим к данному ряду радикальный
признак Коши:
пусть
дан ряд
и существует предел
,
тогда если l>1,
то ряд расходится, если l<1,
то ряд сходится, если l=1,
то ряд может сходиться и расходиться,
т.е. требуется применить другой признак
сходимости.
В данном случае (используя второй
замечательный предел) получаем
.
Следовательно, исходный ряд является сходящимся.
г)
Применим к данному ряду признак
Даламбера:
пусть
дан ряд
и существует предел
,
тогда если l>1,
то ряд расходится, если l<1,
то ряд сходится, если l=1,
то ряд может сходиться и расходиться,
т.е. требуется применить другой признак
сходимости.
В данном случае
,
,
.
Здесь
функция
– называется факториалом.
Таким образом, исходный ряд является
абсолютно
сходящимся.
Задача 2. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
.
Решение.
Найдем радиус сходимости степенного
ряда
по формуле
.
Тогда область сходимости будет иметь вид (x0–R, x0+R), т.к. в нашем случае x0=–7, то область сходимости будет иметь вид (–16; 2). Исследуем теперь сходимость ряда на границах области сходимости, т.е. в точках x=–16 и x=2. При x=–16 получается следующий числовой ряд
,
который сходится по признаку Лейбница. При x=2 получается числовой ряд
,
который
является расходящимся, т.к. сравним с
расходящимся гармоническим рядом
.
Итак, область сходимости исходного степенного ряда будет иметь окончательно следующий вид [–16; 2).
Задача 3. Разложите данную функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
Решение. Ряд Тейлора имеет следующий вид
Далее находим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, первых три ненулевых члена ряда Тейлора исходной функции будут иметь следующий вид
Задача 4. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cosx, sinx, ex, ln(1+x), (1+x)m, arctgx:
а)
|
б)
|
,
.Решение. а) В данном случае воспользуемся разложением
Тогда
и
.
Окончательно получаем
.
б) В данном случае воспользуемся биномиальным разложением
В данном случае
Тогда
Таким образом, искомое разложение будет иметь вид
Задача 5. Доопределяя необходимым образом заданную на промежутке (–5; 5) функцию
до периодической, разложить ее в полный ряд Фурье. В ответе записать в явном виде несколько первых членов ряда. Сделать рисунок.
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям Дирихле и поэтому разложима в ряд Фурье. Дополним её до периодической с периодом T=10.
Вычислим
коэффициенты Фурье
:
,
,
.
Таким образом,
В результате, получаем
Сделаем график нескольких первых гармоник (n=5).
