Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов

Теория вероятностей

7.1.2.4. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых

Закон больших чисел в форме Чебышева означает, что распределение случайной величины

ξn = 1 ∑n ξi n i=1

сжимается с ростом n. Если математические ожидания одинаковы, т.е. Mξi=a, то сжатие происходит в окрестности точки a.

Убедиться в сжатии можно, наблюдая гистограммы при различных значениях n (например, для n =10, 40, 160, 640). Сгенерируем k раз

(например, хотя бы k =20) случайную величину ξn ≡ ξ : x1,.., xk и

построим для каждой такой выборки средних гистограмму. Сравнивая гистограммы для различных n, можно легко заметить сжатие (табл. 7.1 и

рис. 7.2).

Таблица 7.1. Разброс средних вокруг точки а = 0,5

150

Предельные теоремы

7.2. Усиленный закон больших чисел

7.2.1. Теорема Бореля

Другими словами, при любом эксперименте с бесконечным числом испытаний имеет место сходимость последовательности fn к p.

В справедливости сказанного можно убедиться с помощью эксперимента по бросанию монеты или игральной кости. В последнем случае для упрощения и убыстрения эксперимента следует рассматривать событие А1 (появление нечетного числа очков) или А2 (появление четного числа очков).

На рис. 7.3 приведены три графика относительных частот fn выпадения герба при бросании монеты, полученных в результате натурных испытаний при n=50; на рис. 7.4 – при n=500.

Рис. 7.3. Относительная частота выпадения герба при изменении n от 1 до 50

151

Графики убедительно показывают стремление относительных частот к истинной вероятности 0,5. Причем, чем больше число испытаний, тем

свероятностью 1.

Вчастном случае, при равных математических ожиданиях, M[ξi]=a, это означает

с вероятностью 1.

На рис. 7.5 приведены графики результатов трех экспериментов по отслеживанию последовательностей средних арифметических случайных величин ξi, равномерно распределенных в интервале (0;1), когда i

изменяется от 1 до 50; на рис. 7.6 – от 1 до 500. Графики убедительно демонстрируют стремление средних арифметических к математическому ожиданию 0.5 с ростом n.

152

Теория вероятностей

Для независимых и одинаково распределенных случайных величин теорема Колмогорова трансформируется в более простую теорему.

Теорема 7.5 (теорема Колмогорова в упрощенной трактовке). Необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых случайных величин является существование математического ожидания.

распределения F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания; получим вариационный ряд x(1) ≤ x(2) ≤...≤ x(n).

Определим функцию эмпирического распределения

Fn (x) ≡ Fn (x : x1 , x2 ,..., xn ) = µnn(x) ,

где µn ( x ) – число тех наблюдений, для которых x>xi. Ясно, что Fn ( x ) –

ступенчатая функция; это функция распределения, которое получается, если значениям x1,...,xn присвоить вероятности, равные 1/n. К тому же,

Fn ( x ) – функция случайная, так как зависит от наблюдений x1,...,xn.

Теорема 7.6 (теорема Гливенко). С ростом n

максимальное абсолютное отклонение эмпирической функции распределения от теоретической стремится к нулю с вероятностью 1:

154

Теория вероятностей

1,0

0,6 0,4 0,2

Рис. 7.9. Функции эмпирического FE и теоретического FT распределений равномерно распределенной случайной величины Х при числе наблюдений n = 160

7.3.Центральная предельная теорема

7.3.1. Содержание центральной предельной теоремы

Закон больших чисел утверждает, что при n → ∞ среднее арифметическое случайных величин ξi с равными математическими ожиданиями стремится к их математическому ожиданию

1 ∑n ξi → a , n i=1

где а = M[ξi] .

Центральная предельная теорема утверждает нечто большее, а, именно, что при n→∞ распределение среднего арифметического случайных величин (при многократном суммировании среднее арифметическое есть случайная величина) приближается к нормальному распределению с параметрами а (математическое ожидание) и σ2/n (дисперсия) :

где σ2=D[ξi].

156

Теория вероятностей

Для нормированных величин условие Ляпунова имеет вид

На практике чаще всего используется условие Ляпунова

а) при δ=1:

lim 13 ∑n M [ξk − ak 3 ]= 0 ;

n→∞ Bn k =1

б) при δ=2:

lim 14 ∑n M [ξk − ak 4 ]= 0 .

n→∞ Bn k =1

7.3.4. Сумма одинаково распределенных случайных величин

Центральным предельным теоремам подчинены последовательности случайных величин с различными законами распределения. На практике чаще имеет место более простой случай – последовательности случайных величин с одинаковыми законами распределения или последовательности реализаций одной и той же случайной величины.

Следствие центральной предельной теоремы. Если независимые случайные величины ξ1, ξ2, ... , ξn одинаково распределены и имеют

158