2. Виды степенных средних величин

В статистической обработке материала возникают различные задачи, которые необходимо решать, и поэтому в статистической практике используются различные средние величины.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

1. Средняя арифметическая, если m = 1;

2. Средняя гармоническая, если m = - 1;

3. Средняя квадратическая, если m = 2 (показатели вариации);

4. Средняя геометрическая, если m > 0 (ряды динамики);

5. Средняя хронологическая (ряды динамики).

Для того чтобы применить одну из вышеперечисленных видов средней, необходимо проанализировать изучаемую совокупность, определить материальное содержание изучаемого явления, все это делается на основе выводов, полученных из принципа осмысленности результатов при взвешивании или суммировании.

В изучении средних величин применяются следующие показатели и обозначения.

Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается х; величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности называют индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначают как x₁ , х₂ , x₃ ,… х_п ; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

1. Средняя арифметическая

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая, которая исчисляется тогда, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

Если данные не группированы, то рассчитывают среднюю арифметическую простую.

Например: 5, 8, 4, 9, 6, 1, 3, 7, 2, 7

Пример: Есть 5 человек возраст 18, 17, 22, 24, 28

Средний возраст:

Если данные группированы и некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя арифметическая называется средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим образом:

где х_i – варианта или середина интервала i-ой группы,

f_i – частота или вес i-ой группы.

Взвешенная средняя величина должна употребляться во всех случаях, когда варианты имеют различную численность.

Пример:

Определить средний возраст, если в группе 25 человек, из них 4 – 17 лет, 10 - 18 лет, 7 – 19 лет, 4 – 20 лет.

Возраст, лет хi	Количество человек, чел. fi	Объем признака Fi = хi* fi
17	4	68
18	10	180
19	7	133
20	4	50
Итого	25	461

, нельзя

, года

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующуюся у каждого из них.

Вычисление средних величин производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до). В этом случае значение признака х_i равно середине интервала.

Пример:

Возраст, лет хi	хi	Количество рабочих, чел. fi
20 – 24	22	3
24 – 28	26	6
28 – 32	30	8
32 – 36	34	10
Свыше 36	38	6

Условная протяженность открытых интервалов принимают равной протяженности ближайшего к нему закрытого интервала (в некоторых случаях граница назначается логически).

Пример:

до 3 (1 – 3)

3 – 5

5 – 10

10 – 20

20 и более (20 – 30)

Следует помнить, что средняя величина, рассчитанная на основе интервального ряда, является величиной приближенной и в первую очередь выполняет роль оценки.

Свойства средней арифметической:

1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин: Если х_i = y_i + z_i, то

Данное свойство показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины.

2) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону:

Это правило демонстрирует, что средняя является равнодействующей.

3) если все значения признака увеличить или уменьшить на одно и тоже постоянное число, то средняя увеличится или уменьшится на это же постоянное число:

4) если все значения признака увеличить или уменьшить в А раз, то средняя также увеличится или уменьшится в А раз:

5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров весов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть взяты не только относительные, но и абсолютные величины.

Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и тоже число d, то средняя не изменится.