папа Жужа / Конспект лекций

Если, например, по условию задачи даны температуры, то в

уравнении (59) можно произвести замены p1V1 = (m/M) RT1 и (V1/V2)γ-1 = T2/T1 (последнее следует из уравнения TVγ–1 = const). В

результате получим

ТРИЗ-задание 20. Лампа Алладина

В старом кинофильме «Волшебная лампа Алладина» на экране нам показывают газообразного джина высотой 10–20 м. По закону Архи- меда плотность джина должна быть равна плотности воздуха, чтобы он мог быть в воздухе неподвижным (а не всплывать, как воздушный шар). Предполагая, что количество молекул джина в газообразном состоянии и помещенного внутрь лампы одинаково, оцените массу волшебной лампы с джином. Если в результате расчётов масса лампы с джином окажется слишком большой, то, используя ТРИЗ, предложите 10 разных научно- фантастических гипотез, объясняющих то, каким образом большой джин мог появляться из маленькой лёгкой лампы. В одной из таких гипотез ис- пользуйте адиабатический процесс.

11. ПОЛИТРОПИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

Политропическими называются процессы, при которых теплоёмкость тела остается постоянной (C = const).

Изохорный, изобарный, адиабатический и изотермический процессы являются частными случаями политропического.

В самом деле:

40

при T = const, dT = 0 CT = dQdT = ∞ = const

(при изотермическом процессе сообщение телу любого количест- ва теплоты не приводит к изменению температуры тела).

Найдем уравнение политропы. Для простоты проведем рас- чёт для 1 моля газа (если проводить расчет для произвольного числа молей, то число молей n при этом сокращается). Восполь- зуемся определением теплоёмкости: C = dQ/dT Þ dQ = C dT.

Из первого начала термодинамики следует: dQ = dU + dA,

C dT = CV dT + p dV,

(C – CV) dT – p dV = 0. (61)

Аналогично тому, как это делалось при выводе уравнения адиабаты, исключим из уравнения (61) температуру:

Подставим формулу (62) в уравнение (61), приведём выра- жение к общему знаменателю и учтём то, что дробь равна нулю, если её числитель равен нулю:

41

Продолжаем решать уравнение (63):

Уравнение (65) является уравнением политропы в коорди- натах (p, V). Уравнения политропы в других координатах полу- чаются аналогично тому, как это делалось для уравнения адиаба- ты (а можно индекс g в уравнениях адиабаты заменить на n).

В рассмотренных уравнениях переменная С – это теплоём- кость газа в конкретном процессе. Поэтому получим из общего уравнения (65) его частные случаи (процессы):

Из уравнения (65) извлечем корень n-й степени и получим:

(pV n )1n= p1n V = const.

Подставив в последнее уравнение величину n = ¥, получим: p0V = 1×V = V = const.

42

12. ЭНТРОПИЯ. ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ

Система находится в термодинамическом равновесии, если макроскопические величины, определяющие её состояние (p, V, T), остаются постоянными (нет процессов теплопроводно- сти, диффузии, химических реакций, фазовых переходов и т.п.). Будучи выведенной из состояния равновесия внешними воздей- ствиями, система самопроизвольно возвращается к термодинами- ческому равновесию.

При обратимых процессах система возвращается в исходное состояние так, что как в самой системе, так и в окружающей сре- де не остается никаких изменений. Обратимым является про- цесс, для которого возможен обратный переход из конечного со- стояния в начальное через те же промежуточные состояния, что и в прямом процессе. Обратимыми являются все движения, рас- сматриваемые в механике, кроме тех, в которых участвуют дис- сипативные силы. В молекулярной физике большинство процес- сов необратимо и имеет односторонний характер (переход тепла от горячего тела к холодному, распространение газа на весь объ- ём, смешивание двух различных газов при диффузии).

Возьмем уравнение первого начала термодинамики:

δQ = νCV dT + ν RT dVV .

Разделим обе части этого уравнения на Т:

Правая часть равенства (67) представляет собой полный дифференциал, следовательно, и левая часть также является пол- ным дифференциалом.

43

Функция состояния, полный дифференциал которой равен dQ/T, называется энтропи́ей и обозначается буквой S:

Свойства энтропии:

Энтропия замкнутой системы, совершающей обратимый цикл, не изменяется dSОБР = 0, или S = const.

В ходе необратимого процесса энтропия замкнутой системы возрастает dSНЕОБР > 0 и достигает максимального значения в равновесном состоянии (т.е. S2 > S1).

Второе начало термодинамики: энтропия замкнутой

системы при любых происходящих в ней процессах не убывает dS ³ 0. Знак (>) соответствует необратимому процессу, а знак (=) - обратимому.

Если же система не замкнута, т.е. может обмениваться теп- лотой с окружающей средой, то энтропия может вести себя лю- бым образом (увеличиваться, уменьшаться, не изменяться).

Энтропию можно также определить статистически с помо- щью формулы Больцмана: S = k ln W , где k – постоянная Больцмана; W – статистический вес или термодинамическая ве- роятность состояний. Для величины W в разных учебниках при- водятся разные определения, например:

W– число различных равновероятных микросостояний (все- возможных распределений частиц по координатам и скоростям), которые реализуют данное макросостояние (p, V, T);

W– число способов, реализуя которые система может прий- ти к данному равновесному состоянию.

В равновесном состоянии макропараметры (p, V, T) посто- янны, однако микропараметры (скорости, координаты, импульсы

частиц) постоянно меняются. Поэтому число W очень огромно. Состояние, которое осуществляется многими способами, на-

зывается беспорядочным, или случайным. Следовательно, эн-

тропия является мерой беспорядка в системе. Сообщение сис-

теме количества теплоты приводит к усилению хаотического движения молекул, увеличивает (энтропию) степень беспорядка в системе.

44

При абсолютном нуле Т = 0 движения нет, и все атомы тела закреплены в определенных местах. Существует только одно микросостояние Ω = 1. Следовательно, энтропия равна нулю:

S = k ln 1 = 0. Отсюда следует третье начало термодинамики

(теорема Нернста): энтропия любого тела стремится к нулю при стремлении температуры к нулю, или при Т = 0 в любом про- цессе S = 0.

Всякий естественный процесс всегда протекает так, что сис- тема переходит в состояние с более высокой степенью беспоряд- ка, так как такое состояние характеризуется большей термодина- мической вероятностью. С этим связана и необратимость тепло- вых процессов: беспорядок в системе увеличивается. Любой вид энергии (механической, электрической…) в конечном итоге пе- реходит в тепловые (хаотические) колебания атомов и молекул.

Второе начало термодинамики, установленное для замкну- тых систем на Земле, не может быть распространено на всю бес- конечную Вселенную. Иначе можно прийти к выводу, что темпе- ратуры всех тел во Вселенной станут одинаковыми. Энтропия достигнет своего предельного – максимального – значения, и на- ступит абсолютно равновесное состояние, в котором никакие процессы уже невозможны. Все виды энергии перейдут в тепло- вой вид, при этом все формы движения, кроме хаотического теп- лового, должны прекратиться. Наступит «тепловая смерть Все-

ленной».

Из определения энтропии следует, что площадь под кривой на диаграмме (T, S) численно равна количеству теплоты Q12, по- лученному телом в ходе процесса 1 → 2 (рис. 29):

ментарное изменение δQ не является полным дифференциалом.

45

ТРИЗ-задание 21. Демон Максвелла и маленькие человечки

«Демон Максвелла» – это связанный со вторым началом термоди- намики мысленный эксперимент, в котором разумно действует фантасти- ческое маленькое существо. В чём суть этого эксперимента? Какие ещё мысленные эксперименты в физике Вы знаете? В ТРИЗ существует ана-

логичный метод – моделирование маленькими человечками (ММЧ). Как работает этот творческий инструмент ТРИЗ?

13. РАСЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНТРОПИИ В ПРОЦЕССАХ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА, ПРИ НАГРЕВАНИИ И ПЛАВЛЕНИИ

Расчет изменения энтропии в процессах идеального газа

Изотермический процесс. Так как T = const, то в формуле

(70) первое слагаемое при дифференцировании обратится в нуль: dS = nR d (ln V). Интегрируя, получаем:

Из формулы (71) видно, что энтропия возрастает при увели- чении объёма газа. Из закона Бойля-Мариотта p1V1 = p2V2 можно произвести замену V2/V1 = p1/p2. Таким образом, получаются фор-

мулы

Изохорный процесс. Так как V = const, то в формуле (70)

второе слагаемое при дифференцировании обратится в нуль:

dS = n CV d (ln T). Интегрируя, получаем: DS = n CV ln (T2/T1), т.е. энтропия возрастает при увеличении температуры. Отношение

T2/T1 можно заменить отношением p2/p1.

Изменение энтропии можно найти и другим способом, ис- пользуя молярную теплоёмкость:

46

Изобарный процесс (p = const). Для вычисления DS по фор- муле (70) необходимо выразить температуру Т или объём V из уравнения Менделеева-Клапейрона, например, подставим объём V = nRT/p в формулу (70):

dS = d [νCV lnT + ν R ln(ν RT p)]= ν d [CV lnT + R lnT + R ln(ν R p)],

(энтропия не изменяется). При адиабатном расширении газа эн- тропия возрастает за счет увеличения объёма, но уменьшается за счет понижения температуры, и эти два процесса полностью компенсируют друг друга.

Энтропия обладает аддитивностью: энтропия системы рав- на сумме энтропий тел, входящих в систему. Для нахождения DS

в газовых процессах выбираются любые удобные для расчетов процессы.

Изменение энтропии при нагревании тел: Q = cm (t2 – t1),

где с – удельная теплоёмкость.

47

Изменение энтропии при плавлении.

Интегрирование ведется от 0 до m, так как идет процесс по- явления новой фазы вещества. Температура плавления ТПЛ и удельная теплота плавления λ – величины постоянные.

Аналогичной формулой выражается изменение энтропии при парообразовании. Только в формулу (76) подставляются температура кипения ТПАР и удельная теплота парообразования r.

Если вещество нагревалось, плавилось, нагревалось, испа- рялось и т.д., то общее изменение энтропии будет равно сумме

изменений энтропии в отдельных процессах: S = å Si .

14. ЦИКЛ КАРНО

Теплота и работа как две формы передачи энергии нерав- ноценны. Если механическая работа всегда может самопроиз- вольно перейти в тепловую энергию, то обратный процесс воз- можен лишь в тепловых машинах (двигателях).

Круговым процессом, или циклом, называется такая сово-

купность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Все преобразовате- ли энергии (двигатели) работают циклически, т.е. процессы пре- образования тепла в работу периодически повторяются.

Тепловой машиной называется периодически действующее устройство, совершающее работу за счет получаемого извне ко- личества теплоты. Тепловая машина состоит из нагревателя, ра- бочего тела (газ) и холодильника (рис. 30).

Пусть рабочее тело (газ), получив от нагревателя количество теплоты Q1, расширяясь от V1 до V2, совершает работу (поднима- ет поршень). Для того чтобы вернуться в начальное состояние, надо газ сжать. Чтобы работа за цикл была больше нуля, необхо- димо сжатие осуществлять при более низком давлении и темпе- ратуре, т.е. передать часть тепла Q2 холодильнику. Обычно холо- дильником служит атмосфера.

48

Рис. 30

Поскольку за цикл изменение внутренней энергии равно ну- лю, то из первого начала термодинамики следует, что работа рав-

на A = Q1 – Q2.

Для характеристики эффективности тепловой машины вво-

дят коэффициент полезного действия (КПД) как отношение совершенной за цикл работы к полученному количеству теплоты:

Циклом с максимальным КПД, в котором отсутствуют бес-

полезные потери тепла, является цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим цикл Карно на диаграмме (p, V), изображенной на рис. 31. Для простоты расчётов возьмём 1 моль газа (из дальнейших расчетов будет видно, что при произ- вольном числе молей величина ν сокращается).

Процесс 1–2. Газ получает от нагревателя (с температурой Т1) количество теплоты Q1 и расширяется. Наилучшим процессом является изотермическое расширение, так как U = 0 и всё коли- чество теплоты идет на совершение работы:

49