папа Жужа / Конспект лекций

Одна из форм записи функции распределения Максвелла имеет вид

где υ – скорость на длине свободного пробега; m – масса одной молекулы; k – постоянная

υ Больцмана; Т – температура.

График функции F(υ) показан на рис. 10. Как и следовало ожидать, F(υ) = 0 при υ = 0 и υ = ¥, т.е. в газе нет неподвижных молекул и движущихся с бес-

конечно большими скоростями.

Найдем наиболее вероятную скорость υВЕР, определяющую максимум кривой распределения. Для этого следует взять произ- водную и приравнять её к нулю (постоянные множители при этом вынесутся за знак производной):

Корнями последнего уравнения будут

Первые два корня – это минимумы функции F(υ), а третий корень – максимум (наиболее вероятная скорость):

20

Найдем значение функции распределения в максимуме, под-

ставив формулу (20) в уравнение (19):

Из формул (20) и (21) следует, что при увеличении темпера- туры или уменьшении массы молекулы максимум кривой смеща- ется вправо и становится ниже (рис. 11). Однако площадь под кривой из условия нормировки (S = 1) сохраняется.

Зная функцию распределения F(υ), можно найти среднюю

(арифметическую) скорость:

Если подставить получившиеся выражения для υ и dυ в формулу dN/N = F(υ) d υ, то можно получить функцию распреде- ления F(u) для относительной скорости:

У 70% всех молекул скорость отличается от наиболее веро- ятной не более чем на 50% (рис. 12). А скорости, превышающие наиболее вероятную более чем в 5 раз, наблюдаются у одной из 12 млрд молекул.

21

кислорода. Поэтому число покинувших Землю молекул кислоро- да очень мало. Однако легкие газы (водород, гелий) в основном рассеялись и остались «тяжелые» газы с небольшой скоростью молекул (азот, кислород, аргон, углекислый газ). Атмосферы со- хранились у тех планет, у которых сильное тяготение (высокая вторая космическая скорость) и низкая температура (низкая скорость самих молекул). Атмосферы состоят в основном из «тяжелых» газов – азот, кислород, аммиак, метан и т.п.

6.СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА

ИЧИСЛО СТОЛКНОВЕНИЙ

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при столкновении, называется эффективным диа-

метром молекулы d, а величина s = pd 2 - эффективным сечением молекулы (рис. 13). Средняя длина свободного пробега мо-

лекулы – это прямолинейный участок пути, проходимый молеку- лой между двумя последовательными соударениями.

22

В действительности движется не одна, а все молекулы, по-

Средняя длина свободного пробега l равна отношению длины пути, пройденного молекулой, к числу испытанных ею на этом пути столкновений:

Таким образом, длина свободного пробега молекул тем меньше, чем больше их концентрация и эффективное сечение.

Оценим порядок величин длины свободного пробега и числа соударений (т.е. для формулы (25) необходимо найти d и n). Для нахождения d вспомним, что в жидкостях молекулы располага- ются достаточно плотно друг к другу. Один моль воды (18 г) за- нимает объём 18 см3 = 18 × 10 −6 м3. Разделив объём одного моля на число молекул в одном моле NA, получим приблизительно объём одной молекулы и её линейный размер:

При испарении воды размер молекулы d не изменяется, но теперь один моль любого газа (и водяного пара) при нормальных условиях занимает объём 22,4 ×10−3 м3. Разделив число молекул в одном моле NA на объём одного моля газа, получим концентра-

цию n:

n = 6 ×1023 / 22,4 ×10 –3 » 3 × 1025 м −3.

Подставим найденные значения d и n в формулу (25): l = 1 / ( 2 × p × 9 ×10 –20 × 3 ×1025) » 10 −7 м.

23

Пусть средняя скорость молекулы водяного пара равна 600 м/с. Тогда из формулы (25) найдём число столкновений:

ν = λυ = 10600−7 = 6 ×10 9 c−1.

Естественно возникает вопрос, можно ли считать идеальным газ, в котором молекулы каждую секунду сталкиваются миллиар- ды раз, т.е. «взаимодействуют». Однако длина свободного пробе- га в 100–1000 раз больше размеров молекулы. Другими словами, время столкновения молекул примерно в 100–1000 раз меньше времени между столкновениями. Следовательно, подавляющую часть времени молекулы движутся свободно.

Состояние газа в сосуде называется вакуумом, если длина

свободного пробега сравнима с линейными размерами сосуда или превышает их. Газ в этом случае называют ультраразреженным. Различные степени вакуума (низкий, средний, высокий, сверхвы- сокий) создаются в разных технических устройствах (электро- лампы, радиолампы, электронно-лучевые трубки телевизоров, системы вакуумного напыления металлов и т.п.).

ТРИЗ-задание 11. Вакуум в науке, технике и быту

Использование пустоты (вакуума) вместо вещества – это один из законов развития технических систем и один из изобретательских приё- мов. Наберите в любой поисковой системе в Интернете слова «вакуум- ный», «вакуумная», «вакуумное» и составьте список технических уст- ройств и технологий с использованием вакуума.

7. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Явления переноса объединяют группу процессов, связан- ных с неоднородностями плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоёв вещества. При нарушении равновесия система стремится к нему вернуться, при этом в веществе возникает упорядоченный, направленный пере-

нос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение) и внут-

ренней энергии (теплопроводность). Такие явления представ- ляют собой необратимые процессы. Для рассмотрения явлений переноса необходимы два понятия из векторного анализа.

24

Градиент скалярной функции f (вектор) – это производная по направлению скорейшего (максимального) изменения этой

стном случае, когда однородное поле пер- пендикулярно поверхности S, имеем N = aS.

7.1. ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХ

Диффузия – обусловленное тепловым движением самопро- извольное взаимное проникновение и перемешивание частиц со- прикасающихся газов, жидкостей или твердых тел. Диффузия

происходит в направлении уменьшения концентрации вещества (т.е. оттуда, где вещества больше, туда, где его меньше).

Процесс диффузии может происходить между различными агрегатными состояниями вещества. Например, в полупроводни- ковой технологии p-n-переходы создаются диффузией примеси, находящейся в газообразном или жидком состоянии, в твёрдый полупроводник (нагретый до 1000–1300 °С).

Установлено, что поток молекул, прошедших за время dt че- рез площадку dS, перпендикулярную направлению переноса ве- щества, определяется законом Фика:

где dN – количество частиц (молекул); D – коэффициент диффу- зии; dn/dz – градиент концентрации в направлении оси z. Знак «минус» в формуле (26) обусловлен тем, что поток молекул на- правлен в сторону убывания концентрации. Знак «минус» ком-

пенсирует отрицательный знак градиента (рис. 16):

25

(рис. 17). Пусть n1 > n2.

Из-за теплового движения молекулы будут переходить через площадку dS и слева направо, и справа налево. Однако из-за раз- ности концентраций возникает диффузионный поток в направле- нии оси z. За время dt через площадку dS пройдут N молекул:

Поскольку тепловое движение хаотическое, тепловые ско- рости молекул равномерно распределены по трем осям x, y, z. Причем из 1/3 всех молекул, которые движутся вдоль оси z, одна половина движется в положительном направлении оси z, а другая половина – в отрицательном. Таким образом, в положительном направлении оси z движется 1/6 часть молекул.

За время dt до площадки dS долетят все движущиеся по на- правлению к ней молекулы, заключенные в элементе объёма с основанием dS и высотой áυñdt. Умножив эти элементы объёма на концентрации молекул с одной и другой стороны площадки (n' и n''), получим количество молекул N ' и N '', прошедших через пло- щадку dS в противоположных направлениях:

26

Подставив уравнения (29) в формулу (28), получим:

Очевидно, что через площадку dS будут пролетать лишь те молекулы, которые испытали последнее соударение на различ- ных расстояниях от dS. Значит, n' и n'' – это концентрации моле- кул на расстоянии длины свободного пробега λ по обе стороны от площадки. Так как dn/dz – разность концентраций, приходящихся на единицу длины, то на расстоянии 2λ разность концентраций

равна

Сравнивая формулы (26) и (32), находим коэффициент диф- фузии:

Полученная формула (33) определяет коэффициент само- диффузии, т.е. диффузию молекул газа в среде того же газа.

Когда молекулы обеих компонент смеси неодинаковы по массе и эффективному сечению, коэффициент диффузии опреде- ляется более сложным выражением. Например, в смеси водорода и углекислого газа водород должен диффундировать быстрее, чем углекислый газ, так как средняя скорость молекул водорода почти в 5 раз выше, чем у углекислого газа, и кроме того, λ(H2) > λ(СО2). Это значит, что объём водорода, переносимого в одном направлении, больше объёма углекислого газа, переноси- мого в противоположном направлении. При этом неизбежно воз- никает разность давлений, которая влияет на процесс диффузии.

ТРИЗ-задание 12. Диффузия в науке, в технике и быту

Используя ключевое слово «диффузионный(-ая, -ое)», найдите в Интернете информацию для изучения технических устройств и техноло- гий с использованием диффузии. А что такое «диффузия инноваций»?

27

7.2. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ

Явлением внутреннего трения (вязкостью) называется возникновение сил трения между слоями жидкости или газа,

движущимися друг относительно друга параллельно и с разными

них слоёв газа (жидкости), движущихся с разными скоростями (рис. 19). Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой F1, направленной по течению. Более медленный слой одновременно стремится замед- лить движение более быстрого слоя, действуя на него с силой F2.

Причиной вязкости является наложение двух движений: упорядоченного движения слоёв газа (жидкости) с различными скоростями и теплового движения молекул. При этом молекулы в своём тепловом движении, переходя из слоя в слой, имеют раз- ные скорости упорядоченного движения, и происходит перенос импульса упорядоченного движения молекул (рис. 20). Ось z на рис. 20 указывает направление потока импульса.

Модуль силы внутреннего трения dF, действующей на пло- щадку dS, лежащую на границе между слоями, определяется фор-

мулой Ньютона´ :

28

где h – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость, или просто вязкость); dυ/dz = grad υ – градиент скорости (изменение скорости движения слоев на единицу длины в на- правлении нормали к поверхности слоя). Жидкости, подчиняю- щиеся уравнению (34), называются ньютоновскими´ (вода, гли- церин и др.), а неподчиняющиеся – неньютоновскими´ (в них вязкость зависит от градиента скорости; примером такой жидко- сти является раствор крахмала в воде). Единицей динамической вязкости является паскаль-секунда (Па×с). Динамическая вязкость газов при нормальных условиях имеет порядок 10−5 Па×с.

Наряду с динамической вязкостью используется также кинематическая вязкость n, определяемая как отношение дина- мической вязкости к плотности среды: n = h/r.

Учитывая второй закон Ньютона (dP/dt = F), формулу (34) можно представить в другом виде, как поток импульса dР через площадку dS:

Знак «минус» в формуле (35) обусловлен тем, что импульс передается в направлении убывания скорости (градиент скорости отрицателен).

Если известна плотность газа r, то из молекулярно-кине- тической теории можно найти, что коэффициент вязкости газа

определяется выражением

Расчет вязкости для жидкости очень сложен, так как дви- жение молекул в жидкости происходит за счет «перескоков» мо- лекул из одного «оседлого» положения в другое. Динамическая

вязкость достаточно хорошо описывается формулой вида

η ≈ AebT , где А и b – эмпирические постоянные, определяемые

свойствами жидкости, Т – температура. Динамическая вязкость жидкостей резко уменьшается с повышением температуры (а у газов увеличивается). Динамическая вязкость обычных, не очень вязких жидкостей (вода, бензин) имеет порядок 10−3 Па×с.

29