папа Жужа / Конспект лекций

кой точностью, так как тепловое расширение нелинейно в широ- ком диапазоне температур.

В жидкостных манометрических термометрах давление расширяющейся от нагревания жидкости измеряется маномет- ром, шкала которого проградуирована в единицах температуры.

Существуют укороченные термометры (для увеличения точности отсчета по шкале). Например, термометр со шкалой от +50 до +100 °С; а при более низких температурах жидкость за- полняет расширение внизу капиллярной трубки.

Существуют максимальные термометры (например, меди- цинские), показывающие максимальную температуру. При нагре- вании ртуть продавливается через сужение в капиллярной трубке, а обратно ртуть не может опуститься из-за несмачивания стекла.

Термометры сопротивления. Термометрическое тело – металлическая проволока, термометрическая величина – элек- трическое сопротивление: R = R0 (1+at). Наиболее часто приме-

няются платина (–200¼+1100 °С) и медь (–200¼+100 °С).

Разновидностью термометров сопротивления являются по-

90

91

3.Зеркальное отражение в плоскости. Плоскость называ-

ется плоскостью симметрии.

4.Инверсия, или отражение в точке. Точка называется центром симметрии.

5.Комбинация этих преобразований. Например, если тело

совмещается с самим собой при повороте на угол 2π/n и отраже-

92

нии в плоскости, перпендикулярной этой оси, то ось называется

зеркально-поворотной осью n-го порядка (рис. 80).

Кристаллические решетки подразделяются по признакам симметрии: на 230 пространствен-

ных групп, 32 кристаллических класса, 7 кристал- лических систем (триклинная, моноклинная, ром-

бическая, тетрагональная, ромбоэдрическая, гекса- Рис. 80 гональная, кубическая).

В зависимости от характера сил взаимодействия между частицами кристаллической решетки различают 4 типа кри-

сталлов:

1.Ионные кристаллы. В узлах решетки – ионы различных знаков, кулоновское (электростатическое) притяжение между ко- торыми создает «ионную» связь (NaCl, CaCl, KBr, MgO, CaO).

2.Атомные кристаллы. В узлах – нейтральные атомы. Хи- мическая связь – ковалентная (алмаз, германий, кремний, ZnS).

3.Металлические кристаллы. В узлах решетки – положи- тельные ионы металла. Свободные электроны образуют «элек- тронный газ», принадлежащий всему кристаллу (Cu, Ag, Pt, Au).

4.Молекулярные кристаллы (парафин, Br2, I2, в твердом со- стоянии N2, O2, СО2, Н2О) состоят из нейтральных молекул, силы

взаимодействия между которыми обусловлены незначительным взаимным смещением электронов в электронных оболочках ато- мов (молекулярными электрическими диполями). Эти силы назы- ваются ван-дер-ваальсовыми, так как они имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами, приводящими к от- клонению газов от идеальности.

Дефектами кристалла называются всякие отклонения от строгой периодичности идеальной кристаллической решетки. Дефекты бывают макроскопическими (трещины, макроскопиче- ские пустоты и включения) и микроскопическими. Микроскопи- ческие дефекты бывают точечными и линейными.

Точечные дефекты (рис. 81) нарушают лишь ближний поря- док в расположении атомов: а) «вакансия» – в узле решетки отсут-

ствует атом; б) «замещение» – в узле решетки чужой атом; в) «внедрение» атома между узлов.

Линейные дефекты (или дислокации) нарушают дальний по- рядок. Краевая дислокация – это лишняя кристаллическая полу- плоскость, вдвинутая между соседними слоями атомов

93

(рис. 82 а). Винтовая дислокация образуется в результате сколь- жения двух атомных полуплоскостей на один период друг отно- сительно друга, начиная с некоторой линии (рис. 82 б). Кристалл с винтовой дислокацией фактически состоит из одной кристалли- ческой плоскости, которая изогнута по винтовой поверхности (наподобие винтовой лестницы).

прошлом веке. Вопрос: можно ли новые идеи в области современных нанотехнологий получать при помощи «ста-

рых» творческих инструментов ТРИЗ? Изучите новости в Интернете о различных достижениях в нанотехнологиях и найдите примеры использо- вания приёмов и законов ТРИЗ. А вдруг Вы обнаружите, что инструменты ТРИЗ не универсальны, и в наносистемах действуют другие законы тех- нического развития или в конструкциях наноустройств реализованы ра- нее неизвестные изобретательские приёмы? Займитесь развитием ТРИЗ.

ТРИЗ-задание 43. Размерность

Графен (одноатомный слой углерода) имеет уникальные свойства и является перспективным материалом наноэлектроники, а также возмож- ной заменой кремнию в интегральных микросхемах. Графен был получен в 2004 г. А.К. Геймом и К.С. Новосёловым, которым за «передовые опыты с двумерным материалом – графеном» была присуждена Нобелевская премия по физике в 2010 г. Тонкие плёнки других различных материалов также широко применяются в микроэлектронике. В наноэлектронике осо- бая роль принадлежит так называемым системам низкой размерности, где движение электрона ограничено по одной, двум или трем координа- там. Эти объекты соответственно имеют размерность 2, 1, 0, обознача-

ются 2D, 1D, 0D и называются квантовыми ямами, квантовыми нитями

и квантовыми точками. На основе этой информации сформулируйте изобретательский приём, позволяющий получать новые технические ре- шения и новые свойства вещества.

94

28. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Рассмотрим диапазон температур, далекий от нуля и темпе- ратуры плавления. Колеблющийся атом (ион) в кристаллической решетке обладает 3 степенями свободы. На каждую колебатель- ную степень свободы в среднем приходится энергия, равная kT (сумма двух половинок kT – одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной энергии). Значит, энергия колебательного движения 1 атома в кристаллической решетке равна áeñ = 3kT.

Внутренняя энергия одного моля твердого тела равна

U = NA áeñ = 3kNAT = 3RT.

Поскольку объём твёрдых тел при нагревании изменяется мало, их теплоёмкость при постоянном давлении незначительно отличается от теплоёмкости при постоянном объёме, и говорят просто о молярной теплоёмкости твёрдого тела, которая равна

CV » Cp = C = dU/dT = 3R » 25 Дж/(моль×К).

Мы пришли к закону Дюлонга и Пти: атомная (молярная)

теплоёмкость всех (химически простых кристаллических) твёр- дых тел при достаточно высокой температуре одинакова, равна 3R и не зависит от температуры.

Данный закон выполняется довольно хорошо для многих химических элементов при комнатной температуре. Однако для бериллия, бора, кремния и алмаза теплоёмкость значительно меньше. Это означает, что: 1) на самом деле теплоёмкость зави- сит от температуры; 2) комнатные температуры для этих элемен- тов не являются достаточно высокими (например, у алмаза мо- лярная теплоемкость С » 3R при температуре t » 1800 °C).

Если твёрдое тело является химическим соединением (на- пример, NaCl, MnS), то надо учитывать порознь ионы Na+ и Cl −, колеблющиеся независимо друг от друга, и справедлив закон

Джоуля-Коппа: молярная теплоёмкость твёрдого соединения равна сумме атомных теплоёмкостей элементов, из которых оно состоит, т.е. равна 3Rn, где n – число атомов в молекуле (для двухатомных кристаллов С = 6R, для трехатомных – С = 9R¼).

95

ТРИЗ-задание 44. Измерение теплоёмкости

В одном из методов определения теплоёмкости исследуемое твёр- дое тело в калориметрической установке нагревается электрическим то- ком, пропускаемым через платиновую проволоку. Температура тела из- меряется этой же проволокой, которая является термометром сопротив- ления в данной измерительной системе. Какой здесь применён изобрета- тельский приём и какому закону развития техники соответствует это тех- ническое решение?

29. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА: РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ-ДИРАКА

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа час- тиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

При рассмотрении системы многих частиц в классической статистической физике (распределения Максвелла и Больцмана) предполагалось, что частицу можно отличить от всех таких же частиц. Например, если две частицы поменяются местами, то по- лучится новое микросостояние.

Квантовая статистика строится на принципе неразличимости тождественных частиц: все одинаковые частицы (например, все электроны в металлах, все протоны в ядрах атомов) считаются принципиально неразличимыми друг от друга. Если частицы по- меняются местами друг с другом, то получится исходное микро- состояние.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно оп- ределяется набором четырех квантовых чисел: главного, орби- тального, магнитного и магнитного спинового. Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Пáули: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинако- вым набором четырех квантовых чисел.

Все элементарные частицы разделяются на два класса.

К одному классу относятся электроны, протоны, нейтроны и все частицы с полуцелым спином. Эти частицы подчиняются

квантовой статистике Фéрми-Дирáка и поэтому называются

фермиóнами. Фермионы подчиняются принципу Паули, и в дан- ном квантовом состоянии не может находиться более одной час- тицы. (Аналогия: в одном месте пространства не может нахо- диться больше одного непроницаемого твёрдого тела.)

96

Кдругому классу относятся фотоны, фононы, p- и К-мезоны

ивсе частицы с целым спином. Системы таких частиц описыва-

ются квантовой статистикой Бóзе-Эйнштéйна и поэтому на-

зываются бозóнами. Бозоны не подчиняются принципу Паули: в

каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц. (Аналогия: в одном месте пространства возможно одно- временное пребывание облаков пара или дыма, лучей света, зву- ковых волн и радиоволн.)

Основной в квантовой статистике является задача о распре- делении частиц по координатам и скоростям (энергиям) и нахож- дении средних значений величин, характеризующих рассматри- ваемую систему. Для нахождения общего числа всех возможных квантовых состояний системы из N частиц вводится понятие 6N- мерного фазового пространства, так как состояние системы оп- ределяется заданием 6N переменных, поскольку состояние каж- дой частицы определяется тройкой координат x, y, z и тройкой

соответствующих проекций импульса px, py, pz.

Число частиц, которые могут находиться в одном квантовом

состоянии, определяется числами заполнения Ni. Для бозонов числа заполнения могут принимать любые целые значения Ni = 0, 1, 2, 3... Для фермионов возможны только два числа: 0 для сво- бодных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц в системе. Квантовая статистика

позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом

состоянии áNiñ. Для этого были получены следующие функции распределения:

97

В этих формулах: k – постоянная Больцмана; Т – термоди- намическая температура. Величина m = (U – TS + pV) / N называ- ется химическим потенциалом, отнесённым к отдельной частице (U – внутренняя энергия системы; S – её энтропия; V – объём сис- темы; р – давление).

Система частиц (в частности, газ) называется вырожденной,

если её свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Параметром вырождения называется величина A = exp (m/kT ). При А << 1, т.е. при малой степени вырождения, в квантовых функциях распре- делений fБ и fФ можно пренебречь единицей в знаменателях, и распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана:

где n0 – концентрация частиц; m – масса частиц; k – постоянная Больцмана; h – постоянная Планка; Т – температура.

Температурой вырождения ТВ называется температура,

при которой вырождение становится существенным. Ниже этой температуры отчётливо проявляются квантовые свойства систе- мы частиц. Если Т >> ТВ, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами. Температура вырождения

TB = (h2n023 )(2 πm k) определяется из условия А = 1.

Вырождение газов становится существенным при очень низких температурах и больших плотностях. Например, для во- дорода при нормальных условиях (Т = 300 К и n0 » 3 ×1025 м−3) параметр вырождения А » 3 ×10−5 << 1. Температура вырождения для водорода ТВ » 1 К. Для всех остальных газов, более тяжелых, чем водород, величина А еще меньше. Поэтому газы при нор-

мальных условиях не бывают вырожденными и описываются классической статистикой Максвелла-Больцмана.

Электроны проводимости в металлах являются примером вырожденного газа. В обычных условиях n0 » (1028 -1029) м−3. Так

98

как масса электрона мала (m ≈ 10−30 кг), то ТВ ≈ 2000 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твёрдом состоянии, электронный газ в металле вырожден. По- этому среднее число электронов N(E), находящихся в квантовом состоянии с энергией Е, описывается функцией распределения Ферми-Дирака:

нять квантовые состояния с самого нижнего энергетического уровня, последовательно занимая более высокие квантовые со- стояния, причем каждое из них лишь одним электроном. Послед- ний электрон занимает уровень с максимальной энергией. Этот уровень называется уровнем Ферми, а энергия уровня – энергией Фéрми ЕF. При Т = 0 функция разрывная. При E < EF функция fФ = 1, т.е. все квантовые состояния с такими энергиями заполне- ны электронами. При E > EF функция fФ = 0, т.е. все квантовые состояния свободны. При этом ЕF = μ, и распределение Ферми-

Дирака обычно записывается в виде

fΦ ( E ) = e(E−EF )1(kT ) +1 .

Однако такое наглядное определение энергии Ферми имеет смысл лишь в применении к свободным электронам в металле. В общем случае такое определение не точно. Например, в диэлек-

99