13. Расчет изменения энтропии в процессах идеального газа, при нагревании и плавлении

Расчет изменения энтропии в процессах идеального газа производится по формуле

dS = d ( C_V ln T + R ln V). (70)

Изотермический процесс. Так как T = const, то в формуле (70) первое слагаемое при дифференцировании обратится в нуль: dS = R d (ln V). Интегрируя, получаем:

^{. (71)}

Из формулы (71) видно, что энтропия возрастает при увеличении объёма газа. Из закона Бойля-Мариотта p₁V₁ = p₂V₂ можно произвести замену V₂/V₁ = p₁/p₂. Таким образом, получаются формулы

^{. (72)}

Изохорный процесс. Так как V = const, то в формуле (70) второе слагаемое при дифференцировании обратится в нуль: dS =  C_V d (ln T). Интегрируя, получаем: S =  C_V ln (T₂/T₁), т.е. энтропия возрастает при увеличении температуры. Отношение T₂/T₁ можно заменить отношением p₂/p₁.

Изменение энтропии можно найти и другим способом, используя молярную теплоёмкость:

^{ Q =  C}_V ^dT;

^{. (73)}

Изобарный процесс (p = const). Для вычисления S по формуле (70) необходимо выразить температуру Т или объём V из уравнения Менделеева-Клапейрона, например, подставим объём V = RT/p в формулу (70):

,

Постоянные величины при дифференцировании обратятся в нуль.

,

.

Вычислить S можно, используя молярную теплоёмкость (кроме того, при р = const возможна замена T₂/T₁ = V₂/V₁):

^{ Q =  C}_P ^dT;

^{. (74)}

^{Адиабатический процесс. , так как Q = 0} (энтропия не изменяется). При адиабатном расширении газа энтропия возрастает за счет увеличения объёма, но уменьшается за счет понижения температуры, и эти два процесса полностью компенсируют друг друга.

Энтропия обладаетаддитивностью: энтропия системы равна сумме энтропий тел, входящих в систему. Для нахождения S в газовых процессах выбираются любые удобные для расчетов процессы.

Изменение энтропии при нагревании тел: Q = cm (t₂ – t₁),

^{Q = cm dT; ; , (75)}

где с – удельная теплоёмкость.

Изменение энтропии при плавлении.

^{Q = m, Q =  dm, . (76)}

Интегрирование ведется от 0 до m, так как идет процесс появления новой фазы вещества. Температура плавления Т_ПЛ и удельная теплота плавления  – величины постоянные.

Аналогичной формулой выражается изменение энтропии при парообразовании. Только в формулу (76) подставляются температура кипения Т_ПАР и удельная теплота парообразования r.

Если вещество нагревалось, плавилось, нагревалось, испарялось и т.д., то общее изменение энтропии будет равно сумме ^{изменений энтропии в отдельных процессах:} .

14. Цикл Карно

Теплота и работа как две формы передачи энергии неравноценны. Если механическая работа всегда может самопроизвольно перейти в тепловую энергию, то обратный процесс возможен лишь в тепловых машинах (двигателях).

Круговым процессом, или циклом, называется такая совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Все преобразователи энергии (двигатели) работают циклически, т.е. процессы преобразования тепла в работу периодически повторяются.

Тепловой машиной называется периодически действующее устройство, совершающее работу за счет получаемого извне количества теплоты. Тепловая машина состоит из нагревателя, рабочего тела (газ) и холодильника (рис. 30).

Пусть рабочее тело (газ), получив от нагревателя количество теплоты Q₁, расширяясь от V₁ до V₂, совершает работу (поднимает поршень). Для того чтобы вернуться в начальное состояние, надо газ сжать. Чтобы работа за цикл была больше нуля, необходимо сжатие осуществлять при более низком давлении и температуре, т.е. передать часть тепла Q₂ холодильнику. Обычно холодильником служит атмосфера.

Поскольку за цикл изменение внутренней энергии равно нулю, то из первого начала термодинамики следует, что работа равна A = Q₁ – Q₂.

Для характеристики эффективности тепловой машины вводят коэффициент полезного действия (КПД) как отношение совершенной за цикл работы к полученному количеству теплоты:

^{. (77)}

Циклом с максимальным КПД, в котором отсутствуют бесполезные потери тепла, является цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим цикл Карно на диаграмме (p, V), изображенной на рис. 31. Для простоты расчётов возьмём 1 моль газа (из дальнейших расчетов будет видно, что при произвольном числе молей величина  сокращается).

Процесс 1–2. Газ получает от нагревателя (с температурой Т₁) количество теплоты Q₁ и расширяется. Наилучшим процессом является изотермическое расширение, так как U = 0 и всё коли- ^{чество теплоты идет на совершение работы:}

.

Процесс 2–3. В точке 2 рабочее тело отключают от нагревателя и заключают в адиабатическую оболочку. Дальнейшее расширение идет в адиабатическом режиме:

Q = 0, A₂ = U = C_V (T₁  T₂).

Невыгодно просто охладить газ (при постоянном объёме). Газ, адиабатически расширяясь, продолжает совершать работу.

Процесс 3–4. Газ, соединив с холодильником, сжимают изотермически, чтобы не повышать его внутреннюю энергию:

^Т₂ ^{= const, U = 0, .}

Процесс 4–1. Газ сжимают адиабатно, чтобы он нагрелся до температуры нагревателя: Q = 0, A₄ = – U = C_V (T₂ – T₁).

^{КПД равен .}

Можно показать, что V₂/V₁ = V₃/V₄. Для этого запишем уравнения адиабаты для процессов 2–3 и 1–4 и поделим одно уравнение на другое:

^{Следовательно, . (78)}

При выводе формулы КПД не пришлось делать никаких предположений о свойствах рабочего тела и устройстве тепловой машины. Следовательно, мы пришли к теоремам Карно:

1. КПД цикла Карно не зависит от рода рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и холодильника.

2. КПД любой необратимой машины (реальной) всегда меньше, чем КПД обратимой машины (Карно), работающей в тех же условиях (Т₁, Т₂).

Существуют различные формулировки второго начала термодинамики.

Формулировка Кельвина: невозможен вечный двигатель второго рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который бы полностью превращал в работу количество теплоты, взятое от теплового резервуара (т.е. работал бы только за счет охлаждения одного источника теплоты Q₁ = A).

Формулировка Клаузиуса: невозможен циклический процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому (т.е. теплота не может самопроизвольно переходить от тела, менее нагретого, к более нагретому).

Если провести цикл, изображенный на рис. 31, в обратном направлении, то получится циклхолодильной машины. На приведение машины в действие затрачивается работа А (рис. 32). При этом машина отбирает за цикл от тела с температурой Т₂ количество теплоты Q₂ и отдает телу с более высокой температурой Т₁ количество теплоты Q₁ = Q₂ + A. Эффективность холодильной машины характеризуется её холодильным коэффициентом, который определяется как отношение отнятой от охлаждаемого тела теплоты Q₂ к работе А, которая затрачивается на приведение машины в действие:

Холодильный

коэффициент

^{. (79)}

Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теп­лоту от менее нагретого тела и отдавать её более нагретому (см. формулировку Клаузиуса).

Подсчитаем КПД цикла Карно дляТ₁ = 100 С и Т₂ = 0 С, получим около 27%. Для увеличения КПД обычно увеличивают температуру нагревателя. Примеры КПД: паровоз – 9%, карбюраторный двигатель – 25–30%, дизель – 30–40%, паровая турбина (с температурой пара 500 С) – 30–40%.

Предельно просто выглядит цикл Карно на диаграмме (T, S). Количества теплоты Q₁ и Q₂ на рис. 33 – это площади двух прямоугольников (рис. 29):

^.

ТРИЗ-задание 22. Молекулярный двигатель

Что такое «молекулярный двигатель»? Существует ли он? Если существует, то где применяется?

ТРИЗ-задание 23. Эволюция топлива

Из истории известно, что вначале в двигателях использовалось твёрдое топливо (дрова, уголь), затем – жидкое (бензин), а сегодня уже используется газ и электричество. Какой закон развития технических систем подтверждает эта тенденция?

ТРИЗ-задание 24. Альтернативные источники энергии

В настоящее время большое внимание уделяется экологически чистым альтернативным источникам энергии (вместо сжигания нефтепродуктов). Так, например, для получения электричества можно использовать энергию морских волн. В одной из таких конструкций электрогенератор с воздушной турбиной закреплён вверху трубы, которая нижним концом вертикально опущена в море. Волны, как поршень, перемещают воздух вверх и вниз по трубе, вращая лопатки турбины на оси электрогенератора. Если лопатки турбины имеют обычную конструкцию, то такая установка имеет недостаток – низкий КПД, так как ось генератора вращается с остановками то в одну, то в другую сторону. Как сделать так, чтобы ось электрогенератора вращалась только в одну сторону независимо от направления движения воздуха в трубе? В ТРИЗ существуют различные информационные фонды, в частности, фонд геометрических эффектов. Разработайте такую геометрическую форму лопатки турбины, которая бы обеспечивала вращение ротора турбины только в одном направлении при изменении направления «ветра» на противоположное. Изготовьте макет такой турбины из бумаги и проверьте своё техническое решение. (Подсказка – турбина Уэльса.)