9. Классическая теория теплоЁмкости идеального газа

^{Средняя энергия одной молекулы равна:} ,

где i – число степеней свободы молекулы.

Внутренняя энергия 1 моля идеального газа, содержащего ^{число Авогадро молекул, равна .}

^{Для  молей газа внутренняя энергия равна .}

Теплоёмкостью тела называется количество теплоты, которое нужно подвести к телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус (например, теплоёмкость калориметра):

^С_ТЕЛА ^{[Дж/К]. (44)}

Теплоёмкость 1 моля называют молярной теплоёмкостью С (или С_) [Дж/(мольК)]. Тогда

Q = C_  (T₂ – T₁). (45)

Теплоёмкость единицы массы вещества называют удельной теплоёмкостью с [Дж/(кгК)]. Тогда

Q = c m (T₂ – T₁). (46)

Молярная и удельная теплоёмкости связаны через молярную массу:

(47)

(или C_{ v} = M c_v, C_{ p} = M c_p, где c_V и c_P см. далее).

Пусть нагревание 1 моля газа происходит при V = const. Тогда из первого начала термодинамики следует А = 0 и dQ = dU, и молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна

. (48)

Из уравнения (48) можно получить важное соотношение:

 dU = C_V dT , а внутренняя энергия  молей равна  U =  C_V T .

Пусть нагревание 1 моля газа происходит при p = const. Тогда молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна

.

Разделим уравнение первого начала термодинамики на dT:

^{, , .}

Для нахождения производной dV/dT выразим объём из уравнения Менделеева-Клапейрона для 1 моля: V = RT/p. Итак:

^.

Мы получили уравнение Майера:

. (49)

Кроме того, выражение A/dT = R определяет физический смысл газовой постоянной R: газовая постоянная численно равна работе, которая совершается при расширении 1 моля идеального газа, нагретого на 1 градус при постоянном давлении.

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении может быть выражена из уравнения Майера (49):

^{. (50)}

Отношение теплоёмкостей

(51)

представляет собой характеристическую для каждого газа величину (это показатель адиабаты).

Для одноатомного газа (i = 3)  = 1,67.

Для двухатомного газа (i = 5)  = 1,4.

Для трехатомного газа (i = 6)  = 1,33.

Полученные формулы для теплоёмкости дают хорошее совпадение с экспериментом для одноатомных и многих двухатомных газов (H₂, O₂, N₂) при комнатной температуре. Однако существуют и различия эксперимента и теории, которые объясняются квантовой теорией теплоёмкости.

ТРИЗ-задание 19. Самодельный калориметр

В лабораторных работах калориметрические измерения можно производить либо в учебном калориметре (два стаканчика, вставленных друг в друга), либо в бытовом термосе. Недостатки этого оборудования – относительно высокая стоимость (десятки и сотни рублей) и высокая собственная теплоёмкость. «Идеальный калориметр» имеет нулевую стоимость и теплоёмкость. Воспользуемся вещественно-полевыми ресурсами, а именно надсистемными, «копеечными» ресурсами вещества. Задание: необходимо изготовить самодельный калориметр из верхней и нижней части пластиковой бутылки 1,5 л и алюминиевой банки из-под газированной воды объёмом 0,33 л (вместо алюминиевой банки можно взять одноразовый пластиковый стаканчик).