моп / 17. Условие дополняющей нежесткости. Теоремы 1, 3 из лекции Моп_Л6_2сПМ.doc с доказательствами

17. Условие дополняющей нежесткости. Теоремы 1, 3 из лекции "Моп_Л6_2сПМ.doc" с доказательствами.

Теорема 1. (Теорема Куна-Таккера в форме о седловой точке функции Лагранжа задачи выпуклого программирования) Пусть в задаче выпуклого программирования (1) – (3) система (2) удовлетворяет условию Слейтера относительно . Тогда для того, чтобы неотрицательный вектор был решением задачи (1) – (3), необходимо и достаточно, чтобы существовал неотрицательный вектор такой, что – седловая точка функции Лагранжа.

Доказательство. Поскольку достаточность этого условия уже доказана для произвольной задачи нелинейного программирования (см. теорему 2.6 введения), осталось доказать только необходимость.

Необходимость. Пусть – решение задачи (1) – (3). Положим . Очевидно, что , так как , и .

Убедимся, что . Предположим противное. Это означает, что найдется точка такая, что . Следовательно, – такая допустимая точка, значение целевой функции в которой меньше минимального. Получаем противоречие с тем, что – решение задачи выпуклого программирования.

Итак, . Согласно лемме множество выпукло. Следовательно, выполняются все требования теоремы 8.2. Поэтому существует ненулевой

вектор опорный в точке ко множеству :

. (4)

Убедимся далее, что все координаты вектора неположительны. Предположим противное. Пусть существует координата . Зафиксируем у вектора все компоненты, кроме -ой. Тогда, учитывая, что произведение может принимать сколь угодно большие значения (в силу неограниченности сверху координаты ), получаем противоречие с неравенством (4).

Легко увидеть, что при любом векторы включаются во множество . Тогда из (4) имеем:

. (5)

Покажем, что . Пусть это не так. Тогда . Следовательно, . По условию Слейтера существует вектор такой, что . Поэтому . Полученное противоречие и означает, что .

Обозначим . Покажем, что построенный вектор представляет собой искомый вектор множителей Лагранжа. Очевидно, что и из (5) получаем

. (6)

Отсюда при следует

. (7)

С другой стороны, так как (поскольку ) и , получаем неравенство . Отсюда и из (7) следует, что в точке выполняется условие дополняющей нежесткости:

. (8)

Из (6) и (8) имеем ,

или, что то же самое,

(9)

Далее, пусть . Тогда . Отсюда и из (8) получаем неравенство .

Итак,

. (10)

Неравенства (9), (10) и означают, что – седловая точка функции Лагранжа задачи выпуклого программирования. Что и требовалось.

Теорема 3. (Теорема Куна-Таккера в дифференциальной форме для задачи выпуклого программирования) Пусть дана задача выпуклого программирования в виде (1), (2), где все функции непрерывно дифференцируемы, система (2) удовлетворяет условию Слейтера. Тогда для того, чтобы вектор был решением задачи (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы существовал неотрицательный вектор такой, что выполняются условия

, (12)

. (13)

Доказательство. Покажем, что условия (12) и (13) эквивалентны включению (11). Пусть точка такова, что . Тогда и .

Пусть теперь . Тогда из теорем 2 и 9.5 следует, что необходимым и достаточным условием экстремума является существование таких множителей , , для которых . Положим для всех и получим из последнего равенства условия (12) и (13). Что и требовалось.