моп / 33. Метод отсекающих плоскостей (Келли)

1

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3 МЕТОД КЕЛІ

3.1 Мета роботи

Вивчення методу Келі для задач умовної мінімізації, застосування його до розв'язання конкретних завдань. Розвиток навичок використання ЕОМ і мов програмування.

3.2 Методичні вказівки по організації самостійної роботи студентів

Генерація мінімізируючої послідовності x(k ) в методі Келі здійснюється таким чином, що кожна із точок x(k ) є неприпустимою точкою,

тобто x(k ) K k . Це є одним з недоліків методу Келі й приводить до того, що процес обчислення не можна зупиняти навіть при досить великих k.

Збіжність до оптимального розв'язання по функціоналу метод Келі гарантує в тому випадку, якщо K опукла область.

Послідовність областей K (0) , K (1) ,.., K являє собою родину вкладених

множин. Якщо ця властивість виконується k , то при цьому не відбувається втрати частини припустимої області, що можливо, якщо множина K неопукла.

Зі збільшенням кількості ітерацій k зростає розмірність задачі лінійного програмування. Крім того, при наближенні до розв’язання площини, що відтинають, починають практично збігатися, що утрудняє розв’язання задачі. Використання процедури відкидання площин дозволяє зменшувати розмірність задачі, але відкидати можна лише ті обмеження, які не є активними для оптимального плану попереднього завдання.

Виклавши основні моменти методу Келі, опишемо послідовність дій при

де gi x - вгнуті функції, множина K опукла множина. Алгоритм розв'язання задачі (3.75)-(3.76) полягає в наступному: 1. Задати множину K (0) x R n : x j x j x j , K K (0) . Розв’язати задачу.

2

Задача (3.77) являє собою задачу лінійного програмування. Для її розв'я- зання необхідно використовувати методи лінійного програмування (наприклад,

симплекс-метод). Нехай x(1) - розв'язання задачі (3.77). Для k=1,2,... виконати наступну послідовність кроків. 2. Обчислити індекс p I 1,2,..., m у такий спосіб:

g p x(k ) max gi x(k ) ,0 , де x(k ) - розв'язок задачі на k -й ітерації.

i I

Перевірити умову закінчення обчислень: якщо g p x(k ) , то припи-

нити обчислення. У протилежному випадку перейти до пункту 3. 3. Побудувати відтинаючи площини наступного виду:

g~ p x; x(k ) g p x(k ) g p x(k ) x x(k ) .

Нехай H (k ) - півпростір вигдяду:

H (k ) x R n : g p x, x(k ) 0 .

Сформулювати нову систему обмежень вигляду: K (k ) K (k 1) H (k ) . Розв’язати задачу лінійного програмування вигдяду:

Перейти до пункту 2.

У випадку, якщо Q x нелінійна функція, то замість задачі

Q x min ,

x K

K x R n : gi x 0, i 1,..., m

На рис. 3.1 можна побачити припустиму область цього завдання, яка лежить у прямокутнику 0 x1 5, 0 x2 4 (прямокутник можна взяти менших

5

Зробити рахунок. Для розв'язання задачі лінійного програмування можна використовувати функцію Minimize пакета Mathematica.

3.3.1 Варіанти завдань

За допомогою методу Келі знайти мінімум функції F x в заданій області X . Покласти 0.01. Варіанти завдань визначаються виглядом функції F x ,областю X . Номер варіанта відповідає номеру студента в списку групи.

Завдання наведені в табл. 3.1. Таблиця 3.1

функції й області, у якій шукається розв'язок; на кожному кроці виводити значення змінних і системи обмежень (вiдтинаючi площини). Накреслити площини, що відтинають, на спільному рисунку ліній рівня функції й області, у якій шукається розв'язок; показати на графіку траєкторію руху до точки мінімуму. Зробити висновок.

3.5 Контрольні питання

1 Для яких функцій можна використовувати метод Келі? 2 Які вимоги пред'являються до заданої області X ?

3. Геометрична інтерпретація методу Келі.

4 Що називається площиною, що відтинає?

5 Достоїнства й недоліки методу.