моп / 1. Выпуклые множества и функции - определения, критерии. Теорема о пересечении выпуклых множеств — копия

1. Выпуклые множества и функции - определения, критерии. Теорема о пересечении выпуклых множеств. (только формулировки).

1. Выпуклые множества и функции - определения, критерии. Теорема о пересечении выпуклых множеств. (только формулировки).

Определение 1. Пусть заданы точки и любое . Линейная комбинация называется выпуклой комбинацией точек и .

Часто выпуклую комбинацию записывают в виде или .

Легко увидеть, что эти формы записи эквивалентны.

Определение 2. Множество всех выпуклых комбинаций точек называется отрезком прямой, соединяющим эти точки.

Определение 3. Множество называется выпуклым, если отрезок включается в для любых .

Теорема 1. Пусть имеется семейство выпуклых множеств . Тогда множество является выпуклым.

Теорема 2. Пусть для всех множества – выпуклые, . Тогда выпукло и множество .

Теорема 3. Пусть – выпуклое множество, тогда его замыкание также выпукло.

Теорема 4. Пусть – выпуклое множество, тогда его внутренность также выпукла.

Выше было приведено определение выпуклой

комбинации двух векторов. Обобщим это понятие на

случай произвольного конечного числа векторов.

Определение 3. Линейная комбинация векторов называется выпуклой комбинацией, если , и .

Определение 4. Множество всевозможных выпуклых комбинаций любого конечного числа векторов из множества называется выпуклой оболочкой множества и обозначается

Очевидно, что для всякого множество является выпуклым. Нетрудно показать, что множество является выпуклым тогда и только тогда, когда

Возможен и другой подход к определению выпуклой оболочки множества. Выпуклой оболочкой множества называется наименьшее выпуклое множество, содержащее , то есть пересечение всех выпуклых множеств, содержащих . Эти определения выпуклой оболочки эквивалентны.

Определение 5. Вектор из выпуклого множества называется крайней точкой множе-ства , если он не является выпуклой комбинацией никаких двух других векторов из .

Легко увидеть, что любая крайняя точка выпуклого множества является его граничной точкой, но не всякая граничная точка является крайней.

Определение 1. Функция , определенная на , называется выпуклой, если для любых и любого выполняется неравенство

. (1)

Если при и неравенство (1) выполняется как строгое, то функция называется строго выпуклой.

Определение 2. Функция , определенная на , называется вогнутой (строго вогнутой), если функция является выпуклой (строго выпуклой).

Очевидно, что любая строго выпуклая (строго вогнутая) функция является выпуклой (вогнутой) функцией, но не наоборот.

Приведем некоторые операции допустимые в классе выпуклых функций.

Теорема 1. Пусть все функции , ,

выпуклы на , числа . Тогда функция также выпукла.

Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Так как функции , выпуклы, то для всех выполняются неравенства

. Умножая эти неравенства на неотрицательные величины и суммируя их по , получим неравенство

.

Следовательно, . Что и требовалось.

Теорема 2. Пусть на определены функции

, . Если все – выпуклые, то функция также выпуклая.

Приведем теоремы о суперпозициях выпуклых функций.

Теорема 3. Пусть функция определена на отрезке и является на нем выпуклой и неубывающей; функция выпукла на выпуклом множестве , , для всех . Тогда функция выпукла на .

Теорема 4. Пусть – матрица размерности , – вектор размерности , – функция, определенная и выпуклая на многообразии

, . Тогда функция выпукла на .

Далее покажем, что выпуклость функции многих переменных можно установить, исследуя на выпуклость ее сужения на всевозможные прямые в . Выпуклость функции одной переменной установить зачастую значительно проще, чем выпуклость функции многих переменных.

Пусть заданы функция и векторы . Сужение функции на прямую определим следующим образом:

. (2)

Теорема 5. Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда выпуклой является и функция , определенная по формуле (2) при любых .

Теорема 6. Пусть функция выпукла на . Тогда любое ее лебегово множество выпукло.

Эта теорема устанавливает одностороннюю связь между выпуклыми множествами и выпуклыми

функциями. Утверждение, обратное теореме 6, не имеет места.