моп / Lab5 u
.pdf1
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5 МЕТОД ШТРАФНИХ ФУНКЦІЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ІЗ ОБМЕЖЕННЯМИ У ФОРМІ
РІВНОСТЕЙ ТА НЕРІВНОСТЕЙ
5.1 Мета роботи
Вивчення методу штрафних функцій для задач із обмеженнями у формі рівностей та нерівностей, застосування його до розв'язання конкретних задач. Розвиток навичок використання ЕОМ і мов програмування.
5.2 Методичні вказівки по організації самостійної роботи студентів
Розглянемо наступну задачу нелінійного програмування, обмеження якої поряд з рівностями містять і нерівності.
|
f x min, |
|
|
|
|
(5.1) |
|
x X |
|
|
|
|
|
|
X : h x 0, g x 0 , |
|
|
|
|
|
де f : Rn R, |
h : Rn Rm , g : Rn R p задані функції, причому, |
m n . |
||||
Компоненти векторів-функцій |
h |
й |
g |
будемо |
позначати через |
|
h x h1 (x), h2 (x),..., hm (x) і g x g1 (x), g2 (x),..., g p (x) відповідно.
Ідея методу полягає в зведенні задачі на умовний мінімум до послідовності задач пошуку безумовного мінімуму допоміжної функції
F(x, c(k ) ) f (x) P(x, c(k ) ) min , |
(5.2) |
x Rn |
|
де P(x, c(k ) ) - штрафна функція, c(k ) - параметр штрафу, який задається на кожній k -й ітерації. Штрафна функція конструюється наступним чином:
c(k )
P(x, c(k ) ) 2
m |
h |
|
2 |
|
j |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
p |
2 |
|
max 0, g j x |
. (5.3) |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
5.2.1Схема методу штрафних функцій
1.Задати початкову точку x 0 (зазвичай x 0 не належить множині допустимих розв’язків), початкове значення параметру штрафу c(0) 0.1 , точність 0.01 . Задати k 0 .
2.Скласти штрафну функцію (5.2).
3. |
Вирішити задачу: F (x, c(k ) ) f (x) P(x, c(k ) ) min , одержати точку |
x(k 1) . Для |
|
x Rn |
|
|
розв’язання цієї задачі використовуємо будь-який метод безумовної мінімізації |
|
|
(за початкову точку взяти x(k ) ). Обчислити P(x k 1 , c(k ) ) . |
|
4. |
Якщо P(x k 1 , c(k ) ) , то процес обчислень закінчити. Якщо P(x k 1 , c(k ) ) , тоді |
|
|
покласти k k 1, обчислити c(k ) 0,1 8k , де k - номер ітерації, |
перейти до |
|
пункту 2. |
|
2
Література:
1. А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2005. – 544с.
5.3 Порядок виконання роботи та методичні вказівкі по її виконанню
Вивчити метод штрафних функцій для задач із обмеженнями у формі рівностей та нерівностей.
Побудувати схему алгоритму. Описати вхідні й робочі параметри.
Скласти програму на одній з алгоритмічних мов, ввести її в ЕОМ. Налагодити програму.
Зробити рахунок.
5.3.1 Варіанти завдань
Мінімізувати функцію f x при умовах |
X : h x 0, g x 0 . Реалізувати метод |
x X
штрафних функцій для задач із обмеженнями у формі рівностей та нерівностей.
.Завдання наведені в табл. 5.1. Таблиця 5.1
Номер |
Функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функції-обмеження |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
варіанта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
x12 x22 |
x1x2 |
|
3x1 1 min |
X : x1 |
1 2 x2 1 2 |
|
4, x1 , x2 0 , x1 x2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
1 x2 |
2x |
2 |
x x |
2 |
3x |
2 |
2 min |
X : 4 x12 x22 |
0, x1, x2 |
|
0 , x1 |
x2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
8 1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
x12 x22 |
8x1 |
|
10x2 |
min |
X : 2 2x12 |
x2 0, x1, x2 0 , x1 |
x2 |
|
1.5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
2x2 x2 |
x x |
2 |
11x |
1 |
8x |
2 |
min |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
0, x1, x2 |
0 , 3.7x1 x2 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
X : 8 0.8 x1 |
0.4 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
32x 120x |
2 |
4x2 15x |
2 |
min |
X :1 x1 |
|
2 |
0, x1, x2 |
0 , 3.2x1 x2 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
x X |
2x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
3x |
2x |
2 |
1 x2 |
x |
2 |
x x |
min |
X : 2x2 x1 |
2, |
x1 |
1 2 x2 |
1 2 |
4, |
x1 , x2 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
6x |
4x |
2 |
x |
2 |
|
|
|
1 x |
2 |
x x |
min |
X : 2x |
x |
2 |
0, |
4 x2 x2 |
0, |
x , x |
2 |
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
1 2 |
x X |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
4x 8x |
2 |
|
x2 |
|
|
|
3 |
x2 |
2x x |
min |
X : x2 |
2x2 |
1, |
x |
|
3x |
2 |
|
1, |
|
x |
, x |
2 |
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
1 2 |
x X |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
9. |
14x1 10x2 x12 x22 x1x2 |
min |
X :1 x2 |
2x |
2 |
0, |
x |
x |
2 |
1, |
x , x |
2 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
10. |
18x1 12x2 2x12 |
|
x22 |
2x1x2 min |
X :1 2x |
2 |
|
x |
2 |
0, 2x |
x |
2 |
0, x , x |
2 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
x12 x22 |
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
X : x12 x22 |
4x1 6x2 |
7 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 0, x2 0 , 2x1 x2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12. |
x1 4 2 |
x2 |
|
4 2 min |
X : x12 x22 |
2x1 2x2 |
2 0 , |
x1 0, x2 |
0 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
2x1 x2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
3x12 2x2 min |
|
|
|
|
|
|
|
X : x12 x22 |
4x1 2x2 |
3 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
x1 0, x2 0 , 2x1 3x2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14. |
x1 1 2 x22 |
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
|
X : x1 x |
2 4x1 4x2 4 0 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 0, x2 0 , 2x1 4x2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
15. |
x12 x22 |
3 min |
|
|
|
X : x12 x22 |
8x1 8x2 |
28 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
|
|
|
x1 0, x2 0 , x1 x2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3
16. |
x12 2x22 1 min |
X : x12 x22 2x1 4x2 0 , |
|
|
x X |
x1 0, x2 0 |
, x1 x2 0 |
|
|
||
17. |
1 2x1 4x22 min |
X : x12 x22 4x1 4x2 4 0 , |
|
|
x X |
x1 0, x2 0 |
, x1 5x2 0 |
|
|
||
18. |
0.2x12 0.05x22 min |
X : x12 x22 |
2x1 8x2 13 0 , |
|
x X |
x1 0, x2 0 |
, 2x1 x2 0 . |
|
|
||
19. |
2x22 x12 min |
X : x12 x22 4x1 8x2 18 0 , |
|
|
x X |
x1 0, x2 0 |
, x1 x2 0 |
|
|
||
20. |
x22 2x1 x12 min |
X : x12 x22 2x1 6x2 9 0 , |
|
|
x X |
x1 0, x2 0 |
, 2x1 x2 0 . |
|
|
||
5.4 Зміст звіту
Звіт повинен містити: умову завдання; спільний рисунок ліній рівня функції й
ліній обмежень; на кожному кроці видавати значення змінних x(k ) , параметру c(k ) . Накреслити траєкторію руху до точки мінімуму. Зробити висновок.
5.5 Контрольні питання
1 Для яких функцій можна використовувати метод штрафних функцій? 2 Загальна постановка задачі дослідження.
3 Достоїнства й недоліки методу.