моп / 27. Теорема Куна-Таккера в дифференциальной форме для задачи выпуклого программирования

27. Теорема Куна-Таккера в дифференциальной форме для задачи выпуклого программирования

Теорема 3. (Теорема Куна-Таккера в дифференциальной форме для задачи выпуклого программирования) Пусть дана задача выпуклого программирования в виде (1), (2), где все функции непрерывно дифференцируемы, система (2) удовлетворяет условию Слейтера. Тогда для того, чтобы вектор был решением задачи (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы существовал неотрицательный вектор такой, что выполняются условия

, (12)

. (13)

Доказательство. Покажем, что условия (12) и (13) эквивалентны включению (11). Пусть точка такова, что . Тогда и .

Пусть теперь . Тогда из теорем 2 и 9.5 следует, что необходимым и достаточным условием экстремума является существование таких множителей , , для которых . Положим для всех и получим из последнего равенства условия (12) и (13). Что и требовалось.