моп / 25. Конус релаксационных направлений. Проекции на множества. Примеры

25. Конус релаксационных направлений. Проекции на множества. Примеры.

Определение 1. Пусть функция определена на . Вектор называется релаксационным направлением (направлением убывания) функции в точке , если существует число такое, что для любого выполняется неравенство .

Обозначим множество релаксационных направлений функции в точке через .

Теорема 1. Пусть функция выпукла на . Тогда для любого множество – выпуклый конус.

Доказательство. Пусть вектор , число . Тогда согласно определению 1 имеем

для любого , то есть вектор .

Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пусть векторы . Согласно определению 1 найдутся такие, что при всех и при всех . Таким образом, оба неравенства справедливы при всех , где . В силу выпуклости функции имеем

.

Следовательно, , то есть при всех , где . Итак, . Что и требовалось.

Релаксационные направления часто используются как при исследовании задач на минимум, так и в различных методах численного решения оптимизационных задач. В случае, когда решается задача максимизации, используются направления возрастания функции в точке, удовлетворяющие неравенству при .

Определение 1 не всегда позволяет непосредственно отыскивать релаксационные направления функции или устанавливать их отсутствие. Для выпуклых дифференцируемых функций в этом может помочь следующая теорема.

Теорема 2. Пусть – выпуклая дифференцируемая в точке функция. Тогда

. (1)

Доказательство. Докажем сначала включение во множество . Пусть . Тогда существует такое, что , . Из теоремы 4.1 получаем . Из этих двух неравенств и следует . Что и требовалось.

Докажем обратное включение. Пусть имеет место неравенство . Так как по условию функция дифференцируема в точке , имеем , где . Поэтому, для достаточно малых знак приращения функции совпадает со знаком произведения . Тогда существует такое, что , , то есть . Что и требовалось.

Заметим, что при доказательстве второго включения выпуклость функции не использовалась.

Заметим также, что в условиях теоремы 2 при конус является открытым полупространством.

Наконец, легко увидеть, что если функция вогнута и дифференцируема в точке , то вектор является направлением возрастания функции в точке тогда и только тогда, когда выполняется неравенство .

В случае, когда функция линейна (), а значит, выпукла и вогнута одновременно, неравенство задает конус направлений убывания, а – конус направлений возрастания в любой точке .

Определение 2. Пусть – множество из , точка . Вектор называется возможным направлением в точке для множества , если существует число такое, что для любого .

Обозначим множество возможных направлений в точке для множества через .

Теорема 3. Пусть – выпуклое множество, . Тогда – выпуклый конус.

Доказательство. Пусть вектор , число . Тогда согласно определению 1 имеем для любого , то есть вектор .

Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пусть векторы . Согласно определению 2 найдутся такие, что при всех и при всех . Таким образом, эти включения справедливы при всех , где . В силу выпуклости множества имеем , то есть при всех , где . Таким образом, . Что и требовалось.

Заметим, что если , то .

Теорема 4. Если – выпуклое множество, точки , то вектор .

Справедливость этого утверждения непосредственно следует из определений выпуклого множества и возможного направления.

При исследовании задач на условный экстремум нам понадобятся так называемые условно релаксационные направления.

Определение 3. Пусть функция определена на множестве , точка . Вектор называется условно релаксационным направлением функции в точке относительно множества , если в этой точке направление является возможным для и релаксационным для функции .

Обозначим множество условно релаксационных направлений функции в точке через . Итак, , а значит, в условиях теорем 1 и 3 множество является выпуклым конусом.