5) Поведение на бесконечности
Исследуем
поведение функции на бесконечности, то
есть при
.
Задачи приводящие к понятию производной. Определение производной.
Ответ:
1) по скорости 2) по касательной Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Основные правила дифференцирования явных функций. Производные элементарных функций./ Ответ: Константу можно выносить за знак производной.
Производная суммы/разности. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.
Производная произведения
Производная частного
Производная сложной функции.Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу . и имеют производные соответственно в точках и.Тогда
Понятие дифференциала Ответ:
Дифференциа́л (от лат. differentia «разность», «различие») — линейная часть приращения функции
Возрастание и убывание функций.
Ответ:
Определение возрастающей функции: Функция 𝑓(𝑥) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек 𝑥1 и 𝑥2 этого интервала, таких что 𝑥1<𝑥2, справедливо 𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2). Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции: Функция 𝑓(𝑥) называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек 𝑥1 и 𝑥2 этого интервала, таких что 𝑥1<𝑥2, справедливо 𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2). Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Максимумы и минимумы функций
Ответ:
Экстремум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Первый достаточный признак экстремума.
Если 𝑥0- критическая точка функции 𝑓(𝑥) и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё производная имеет противоположные знаки, то 𝑓(𝑥0) является экстремумом функции, причём:
1. максимумом, если 𝑓′(𝑥)>0 при 𝑥<𝑥0 и 𝑓′(𝑥)<0 при 𝑥>𝑥0
2. минимумом, если 𝑓′(𝑥)<0 при 𝑥<𝑥0 и 𝑓′(𝑥)>0 при 𝑥>𝑥0
Второй достаточный признак экстремума.
Если функция 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема и в точке 𝑥0 выполняются условия 𝑓′(𝑥0)=0 и 𝑓′′(𝑥0)≠0 , то в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, если 𝑓′′ (𝑥0)<0, и минимум, если 𝑓′′(𝑥0)>0.
Выпуклость графика функций. Точки перегиба
Ответ:
График функции называется выпуклым в интервале (a;b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.3).
График функции называется вогнутым в интервале (a;b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).
Пример 1. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию.
Решение. Находим вторую производную: Из уравнения получаем одну критическую точку: O (0;0). Исследовав знак f ‘’(x) в окрестности точки x=0 получаем: слева от точки x=0 f ‘’(x)<0 (выпуклость), а справа- f ‘’(x)>0 (вогнутость), т. е. точка O(0;0) является точкой перегиба рассматриваемой функции.
