Первообразная функция, её основное свойство
Ответ:
Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции f(x) называют такую F(x), производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F'(x)=f(x) F'(x)=f(x). Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Неопределённый интеграл и его свойства.
Ответ:
Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом. Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
3. где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций.
Ответ:
Метод непосредственного интегрирования
Ответ:
Этот прием интегрирования применяется в том случае, если интеграл табличный или легко сводится к одному или нескольким табличным, путем использования свойств подынтегральной функции или следующих правил интегрирования:
∫kf(x)dx=k ∫f(x)dx
∫(f(x)±φ(x))dx= ∫f(x)dx± ∫ φ(x)dx
Метод подстановки
Ответ:
Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно лёгко берётся непосредственно.
Пусть дан интеграл ∫f(x)dx, который не является табличным.
Записываем уравнение замены
y=y(x)
Находим дифференциал этой функции
.dy=y’(x)dx
Выражаем
dx=(dy)/(y’(x)).
Подставим в данный интеграл:
∫f(x)dx= ∫g(y)dy
Находим
. ∫g(y)dy=F(y)+C
Чтобы получить окончательный ответ, вместо переменной y подставляем y(x) выражение :
∫f(x)dx+F(y(x))+C
Метод интегрирования по частям
Ответ:
Формула интегрирования по частям имеет вид:
òudv=uv-òvdu.
Выведенная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении в подынтегральном выражении в левой части выделяют два сомножителя –u и dv. При переходе к правой части первый сомножитель u дифференцируется (при нахождении du= u'dx ), а второй интегрируется (v =òdv + С). Формулу применяют, если дифференцирование существенно упрощает один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложняет другой).
Определенный интеграл, его основные св-ва, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница
Ответ:
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где a≠b ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись: ∫f(x)dxba
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.
∫f(x)dxaa
2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. ∫f(x)dxba=∫f(t)dtba
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.
∫f(x)dxba=-∫f(x)dxba
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
∫kf(x)dxba=k∫f(x)dxba
Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x)
Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции.
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
∫f(x)dxba=F(b)-F(a)
F - первообразная для f(x)
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b]. Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).