2.2.3. Метод математического моделирования

Обработку экспериментальных зависимостей тех или иных физико-химических свойств от состава растворов проводили по программе СPESSP (Complex formation Parameters of Еquilibria in Solutions with Solid Phases) [49]. Программа реализована на IBM PC AT и позволяет обрабатывать данные различных методов исследования (ЯМР, рН-метрия, потенциометрия, поляриметрия, спектрофотометрия и т.д.), характеристический параметр которых подчиняется правилу аддитивности.

Рассматриваемая программа позволяет в случае многокомпонентных систем определять константы образования и физико-химические параметры комплексов. Суть программы заключается в нахождении в ходе итерационной процедуры минимума функционала F:

, (14)

где Q_k,эксп и Q_k,теор - экспериментально измеряемое свойство раствора в k-том эксперименте и его теоретический аналог, N - число экспериментов, w_k-cреднеквадратичная ошибка. При этом

, (15)

здесь и - константа образования и физико-химический параметр i-го комплекса, - его доля накопления, - матрица стехиометрических коэффициентов.

Оценка достоверности полученных результатов проводится по критерию Фишера:

, (16)

где σ и σ_эксп - дисперсии расчета и эксперимента соответственно, u₁ и u₂ - число степеней свободы числителя и знаменателя (16), р - заданный уровень значимости критерия.

Так как

, (17)

то

(18)

Выполнение неравенства (18) означает, что найденное решение соответствует истинному с вероятностью, близкой к (1-р).

Построение математической модели процессов комплексообразования, сольватации или ассоциации частиц равновесной системы состоит из этапов:

1. Выбор первоначальной модели на основании аналитических и графических методов, литературных данных для сходных систем. Задание нулевого приближения.

2. Нахождение в ходе математической обработки минимума целевой функции ( ) и оценка по критерию адекватности (16) согласия модели с экспериментом.

3. Последовательное усложнение (если модель не достоверна по критерию Фишера) структуры модели осуществляется за счет включения в нее дополнительных равновесий образования молекулярных или ион-молекулярных ассоциатов.

Таким образом, достоверной можно считать модель в том случае, если она, - во-первых, адекватно описывает экспериментальные данные и, - во-вторых, если добавление в нее новых, “разумных” с точки зрения химизма процессов, не дает ощутимого вклада в .

Подробно этапы моделирования многокомпонентных систем по данным различных физических и физико-химических методов приведены в монографии [49].

Была использована последняя версия программы CPESSP, которая позволяет учитывать влияние изменения ионной силы раствора на активности участников моделируемых равновесий по уравнению Девис-Васильева [48].

Глава 3. Комплексообразование в системе "Gd(III)-Mn(II)-hedp"

Было проведено pH-метрическое титрование при различных концентрациях, указанных в табл. 5.

Сравнение (рис. 3) экспериментальных кривых и теоретических кривых, рассчитанных без учета образования гетероядерных комплексов на основе данных по гомоядерным системам [28, 29] (табл. 3, 4) и протолитическим свойствам HEDP [9] (табл. 1) показало их существенные отличия, что свидетельствует о гетероядерном комплексообразовании.

Табл. 3. Матрицы стехиометрии и константы образования в системе Mn(II) – HEDP [29]

№	Равновесие	n	lgKр, δ≤0.16	lgβ, δ≤0.2
1	Mn2+ + H4L MnL2- + 4H+	4.0	-12.47	11.2
2	Mn2+ + 2H4L MnH5L2- + 3H+	3.0	-0.78	5.5
3	Mn2+ + 2H4L MnH4L22- + 4H+	4.0	-2.50	6.8
4	Mn2+ + 2H4L MnH3L23- + 5H+	5.0	-7.20	9.7
5	Mn2+ + 2H4L MnH2L24- + 6H+	6.0	-13.77	10.6
6	Mn2+ + 2H4L MnHL25- + 7H+	7.0	-21.49	14.4
7	Mn2+ + 2H4L MnL26- + 8H+	8.0	-31.28	16.1
8	2Mn2+ + 2H4L Mn2H3L2- + 5H+	2.5	-4.21	12.7
9	2Mn2+ + 2H4L Mn2H2L22- + 6H+	3.0	-8.55	15.9
10	2Mn2+ + 2H4L Mn2HL23- + 7H+	3.5	-14.75	21.2

Табл.4. Матрица стехиометрии и константы образования и устойчивости в системе «Gd³⁺ - HEDP» [28]

№	H4L l*)	Gd3+ m*)	K+ k*)	-H+ h*)	n	Форма	lgКр δ≤0.19	lgβуст. (lgПР) δ≤0.4
1	1	1	0	2	2.0	GdH2L+	14.31	19.0
2	2	1	0	1	0.5	GdH7L22+	22.58	24.3
3	2	1	0	3	1.5	GdH5L20	19.87	26.2
4	2	1	0	4	2.0	GdH4L2-	19.03	28.4
5	2	1	0	5	2.5	GdH3L22-	12.87	29.8
6	2	2	0	8	4.0	Gd2L22-	20.17	67.6
7	2	2	0	9	4.5	Gd2L2(OH)3-	11.82	73.2
8	1	2	0	2	2.0	Gd2H2L4+	17.12	21.8
9	1	2	0	3	3.0	Gd2HL3+	16.70	28.9
10	1	2	0	4	4.0	Gd2L2+	13.48	37.2
11	1	2	0	5	5.0	Gd2L(OH)+	6.38	44.1
12	1	2	0	6	6.0	Gd2L(OH)2↓	-1.60**)	(-50.1)
13	2	2	0	6	3.0	Gd2H2L2↓	-30.20**)	(-54.6)
14	3	2	0	6	2.0	Gd2H6L3↓	-42.61**)	(-56.5)
15	2	2	1	7	3.5	KGd2HL2↓	-30.49**)	(-66.4)
16	2	2	1	9	4.5	K3Gd2L2(OH)↓	-20.45**)	(-81.9)

^*) для равновесия: (11)

^**)для растворения осадка: (12)

Введение в матрицу кроме гадолиниевых и марганцевых комплексов, а также кислотно-основных свойств HEDP [9] дополнительно различных гетероядерных форм, способствовало значительному улучшению общей картины, при этом математическое моделирование дало возможность корректно описать данную систему (табл. 6); F-критерий Фишера составил 0.20 (рис. 4).

Итоговые данные по стехиометрии и константам образования соответствующих форм приведены в таблице 6, а доли накопления форм в зависимости от концентрационных условий (табл. 5) – на рисунках 5-8.

Рис.3. Экспериментально полученные и теоретически рассчитанные с использованием только гомоядерных форм комлексов кривые зависимости функции Бьеррума (1-я базисная частица – лиганд) от pH.

Табл.5. Концентрационные условия для системы "Gd-Mn-HEDP" (V нач.=50м (для pH-потенциометрии), T=25⁰C)

№	CMn2+	CGd3+	CHEDP	CKOH	Условное обозначение
1	0,00965	0,01008	0,0575	0,225	1-1-5
2	0,00965	0,01008	0,0345	0,1313	1-1-3
3	0,00965	0,0108	0,0230	0,0925	1-1-2
4	0,00965	0,0102	0,0115	0,0441	1-1-1

Рис. 4. Экспериментально и теоретически полученные кривые: зависимости функции Бьеррума (1-я базисная частица – лиганд) от pH; F_кр=0,20.

Табл. 6.Матрицы стехиометрии и константы образования в системе Gd(III) - Mn(II) – HEDP

№	Равновесие	n	lgKр, δ≤0.20	lgβ, (lgПР), δ≤0.3
1	Mn2+ + 2H4L MnL26- +8H+	4.0	-31.28	16.1
2	Gd3+ + 2H4L GdH4L2- +4H+	2.0	19.03	28.4
3	Gd3++Mn2+ + 2H4L GdMnH5L22+ + 3H+	1.5	31.91	37.5
4	Gd3++Mn2+ + 2H4L GdMnH4L2+ + 4H+	2.0	30.26	39.6
5	Gd3++Mn2+ + 2H4L GdMnH3L2↓ + 5H+	2.5	26.28	43.0
6	Gd3++Mn2+ + 2H4L GdMnH2L2-1 + 6H+	3.0	20.44	45.0
7	Gd3++ Mn2+ + 2H4L GdMnHL22- +7H+	3.5	13.01	49.3
8	Gd3++ Mn2+ + 2H4L GdMnL23- + 8H+	4.0	5.72	53.1
9	Gd3++ Mn2+ + 2H4L GdMnL2(OH)4- + 9H+	4.5	-5.73	55.6
10	Gd3+ +Mn2+ + 3H4L GdMnH7L3↓ + 5H+	1.7	30.91	52.4
11	Gd3+ +Mn2+ + 3H4L GdMnH6L3-1 + 6H+	2.0	29.34	43.4
12	2Gd3+ + 2H4L K3Gd2L2(OH)↓+ 9H+	4.5	-20.45*)	(-81.9)
13	Gd3+ + H4L GdH2L++ 2H+	2.0	14.31	19.0
14	2Gd3+ + 2H4L+K+ KGd2HL2↓+ 7H+	3.5	-30.49*)	(-66.4)
15	2Gd3+ +2Mn2+ + 2H4L Gd2Mn2H2L24++ 6H+	3.0	37.72	62.2
16	Gd3+ +Mn2+ + H4L GdMnL++ 4H+	4.0	14.02	37.7
17	Gd3+ +Mn2+ + H4L GdMnL(OH)2↓+ 6H+	6.0	-6.99*)	44.71

^*)для растворения осадка:

Рис. 5. Зависимости долей накопления (по отношению к металлу) от pH среды при С_Mn(II)=0,00965 моль/л,C_Gd(III)=0,01008 моль/л и С_HEDP=0,0575 моль/л.

Рис. 6. Зависимости долей накопления (по отношению к металлу) от pH среды при С_Mn(II) =0,00965 моль/л, C_Gd(III) =0,01008 моль/л и С_HEDP=0,0345 моль/л.

Рис. 7.Зависимости долей накопления (по отношению к металлу) от pH среды при С_Mn(II) =0,00965 моль/л, C_Gd(III) =0,0108 моль/л и С_HEDP=0,0230 моль/л.

Рис.8. Зависимости долей накопления (по отношению к металлу) от pH среды при С_Mn(II) =0,00965 моль/л, C_Gd(III) =0,0102 моль/л и С_HEDP=0,0115 моль/л.

Таким образом, методом рН-потенциометрии нами была изучена гетероядерная система Gd³⁺ - Mn²⁺ - HEDP, при концентрации марганца (II) 0,00965 моль/л, концентрации Gd (III) в диапазоне 0,0102-0,0108 моль/л и при разных концентрациях лиганда (табл. 5). Было установлено, что в системе Gd³⁺ - Mn²⁺ - HEDP при значительном избытке лиганда преимущественно накапливаются биядерные (GdMnH₆L₃^-1, GdMnL₂^3-, GdMnH₂L₂^-1) комплексы. При незначительном избытке лиганда наблюдается бо́льшее разнообразие преимущественно накапливающихся гетероядерных форм (GdMnH₅L₂²⁺, GdMnH₄L₂⁺, GdMnH₃L₂⁰, GdMnH₂L₂^-1, GdMnL₂^3-), а в отсутствие избытка лиганда наибольшая доля накопления наблюдалась у комплексов, накопление которых в остальных сериях не наблюдалось, без учета калиевого комплекса, накопление которого в остальных сериях не превышает 10-11% (Gd₂Mn₂H₂L₂⁴⁺ GdMnL⁺, K₃Gd₂L₂(OH)↓). В системе также присутствуют небольшие доли моноядерных бискомплексов (GdH₄L₂^-, GdH₂L⁺), а в щелочной среде при избытке лиганда наблюдается накопление гомоядерного комплекса марганца (MnL₂^6-). Для каждой из форм были рассчитаны константы устойчивости (табл. 6). При значительном избытке лиганда (рис.5,6) комплексообразование протекает по следующей схеме:

GdMnH₃L₂

GdMnH₅L₂^2- GdMnH₆L₃^-1 GdMnH₂L₂ GdMnL₂^3- GdMnL₂(OH)^2- (19)

GdMnH₃L₂

Картина комплексообразования не сильно меняется в случае с небольшим избытком лиганда (рис.7):

GdMnH₆L₃^1- GdMnH₃L₂⁰ (20)

GdMnH₅L₂²⁺ GdMnH₄L₂ GdMnH₃L₂⁰ GdMnH₂L₂^1-

GdMnL₂(OH)^2- GdMnL₂³⁺

Значительные изменения происходят в процессе комплексообразования при равных соотношениях металл:металл:лиганд (рис. 8):

GdMnH₅L₂^2- Gd₂Mn₂H₂L₂⁴⁺ GdMnL⁺ K₃Gd₂L₂(OH) (21)

Как следует из ранее полученных данных, в системе Mn²⁺ – HEDP образуется [29] 10 комплексных форм (из них 3 – биядерные), а в системе Gd³⁺ - HEDP образуется [28] - 16 комплексных форм (из них 3 – биядерные). При этом следует заметить, что комплексы марганца(II) существенно менее прочные, чем комплексы гадолиния(III). При совместном же присутствии в растворе обоих катионов уже в сильнокислой области рН наблюдается накопление гетероядерных форм, которые с ростом рН, в результате процесса удаления протона, переходят в гетероядерные комплексы с соотношениями Gd:Mn:HEDP, равным 1:1:1, 1:1:2 и 1:1:3. При этом из гомоядерных форм в растворе обнаруживаются лишь пять комплексов: MnL₂^6- , GdH₄L₂^-, GdH₂L⁺ , KGd₂HL₂↓, K₃Gd₂L₂(OH)↓.

Таким образом, гетероядерные комплексы существенно более прочные и замещают гомоядерные формы Mn(ii), не давая им накапливаться в растворе. Причиной этого может быть существенно меньший радиус (в 1.5 раза) иона марганца(II) по сравнению с ионом гадолиния(III), что уменьшает межкатионное отталкивание в структуре гетероядерных комплексов. Такая же ситуация реализуется в системах гадолиний(III) - кальций(II) – HEDP [28] и эрбий(III) – кальций(II) – HEDP [11]. Не исключено также, что комбинация "жесткого", орбитально контролируемого ковалентного связывания ионов марганца(II) и "подвижного" электростатического ионного взаимодействия с нуклеофильными центрами лиганда в случае гадолиния(III) приводит к энергетически оптимальным конфигурациям гетероядерных комплексов.

Также нашей исследовательской группой, были обработаны магнитно-релаксационные характеристики по 3-м сериям и проведены сравнительные измерения спин-спинового коэффициента релаксационной эффективности в гетероядерной и гомоядерных системах для одинаковых концентрационных условий и физиологическом значении рН (7.4). КРЭ₂ для марганец-содержащей системы [29] составляет 2500 л·моль^-1·с^-1, для гадолиний-содержащей системы [3] – 5500 л·моль^-1·с^-1. В гетероядерной системе КРЭ₂ имеет значение 6700 л·моль^-1·с^-1 (рис. 9) (при расчете использовалась сумма концентраций парамагнетиков). Таким образом, гетероядерная система как контрастный реагент является более предпочтительной в МРТ.

Рис. 9. Зависимость коэффициента релаксационной эффективности от pH для различных серий.

Кроме того было промоделировано введение раствора (при С_Mn²⁺ = 0.00965 моль/л, C_Gd³⁺ = 0.0108 моль/л, С_HEDP= 0.0230 моль/л, рН=7,40) с гетероядерными соединениями в организм человека, предусматривающее 1000-кратное (5мл. раствора на 5л. крови человека) разбавление. Расчет показал, что свободные катионы отсутствуют ([Mn²⁺]~10^-11 моль/л, [Gd³⁺] ~10^-18 моль/л), а в растворе находятся лишь три комплекса и они – гетероядерные: GdMnH₂L₂^1-, GdMnHL₂^2-, GdMnL₂^3-, доли которых соответственно составляют 30, 29 и 41%. Таким образом, следует полагать, что использование выбранной системы в качестве МРТ-контрастного реагента может быть оправдано и с точки зрения достаточной прочности накапливающихся комплексов.