Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности струи

Гидродинамика – раздел гидроаэромеханики, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твердыми телами.

В гидродинамике различают понятия идеальной и реальной жидкостей.

Идеальной называют воображаемую жидкость, лишенную вязкости и теплопроводности.

Для описания движения жидкости используют понятия «линия тока» и «трубка тока». При установившемся течении все частицы жидкости движутся по определенным траекториям с определенными скоростями.

Линия тока – это линия, в каждой точке которой вектор скорости частицы направлен по касательной (рис.1.).

Понятие линии тока позволяет изобразить поток жидкости графически. Условились проводить линии тока так, чтобы густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте. Там, где линии проведены гуще, скорость течения больше и наоборот (рис.2).

В общем случае величина и направление вектора  в каждой точке пространства могут изменяться со временем, поэтому и картина линий тока будет меняться.

Возможно течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одной и той же скоростью. Течение принимает стационарный характер.

Стационарным называют такое течение, при котором в данной точке вектор скорости  не изменяется с течением времени.

Трубка тока – это объем жидкости, ограниченный линиями тока (рис.3).

S₁ и S₂ – два произвольных сечения трубки тока;

 и  _– скорости течения жидкости в этих сечениях.

Рассмотрим сечение S трубки тока, перпендикулярное скорости  (рис.4).

За время  t через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает расстояние l = v t. Поэтому за время  t через сечение S пройдет объем жидкости

V = S  (1)

А за единицу времени объем

Q =   (1)

Теорема о неразрывности струи: при стационарном течении идеальной жидкости произведение площади поперечного сечения S трубки тока на скорость сечения жидкости v есть величина постоянная для любого сечения трубки тока, т.е.

S  v =const

Для доказательства возьмем трубку тока настолько тонкую, что в каждом сечении скорость можно считать постоянной (рис.5.) Жидкость абсолютно несжимаема, т.е. ее плотность во всем объеме жидкости одинакова и неизменна. Тогда количество жидкости между сечениями S  и S  будет оставаться постоянным, а

Рис. 5

это возможно только при условии, что объем

жидкости, протекающей через сечение S  и S  за время  одинаковы, т.е.v =v  или, учитывая (1), можно записать

S v = S v (2)

Приведенные рассуждения справедливы для любой пары сечений трубки тока, поэтому величина Sv для любого сечения трубки тока должна быть одна и та же.

Условие неразрывности струи применимо и к реальным жидкостям и газам, если их сжимаемостью можно пренебречь.

На рис.4 буквами р и р обозначены статические давления (давления напора) по обе стороны выделенного объема жидкостиV = Sl.

Чтобы скорость течения была направлена, как показано на рисунке, необходимо выполнение условия р >р .

Тогда работа А по перемещению выбранного нами объема жидкости будет совершаться за счет разности сил давления F - F = р S - р S 

А= 

Учитывая, что  , можно записать

. (3)

29. Рассмотрим трубку тока, расположенную наклонно в поле тяготения (рис.6). Выберем два произвольных сечения  и , находящихся на разных высотах по отношении к линии горизонта, и   статические давления соответственно слева от сечения  и справа от сечения . Допустим, что > . Полная энергия некоторой массы  жидкости слагается из кинетической энергии и

потенциальной энергии  . Поэтому можно записать .

ля горизонтальной трубки тока  уравнение (6) принимает вид

(9)

или

(10)