25. Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ_i=ωr_i, тогда кинетическая энергия точки

или 

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис ), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

26. 7. Момент импульса относительно неподвижной осиz.

Моментом импульса материальной точки аотносительно неподвижной осиzназывается скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки 0 на осиz.

Рис.10.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси z(О-О¹). Каждая точка твердого тела описывает горизонтальную окружность радиуса со скоростью . Скорость .и импульс перпендикулярны этому радиусу, поэтомурадиус является плечом вектора (угол =90⁰). Момент импульса каждой точки твердого тела относительно осиzравен

(23)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Моменты импульса всех точек твердого тела будут сонаправлены, поэтому момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц

,

то есть все точки твердого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, то wможно вынести за знак суммы

,

то есть

. .

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

27. Законсохранения момента импульса: Момент импульсазамкнутой системы частиц (тел) остается постоянным.

Законсохранения момента импульса является следствием свойства изотропности пространства, которое проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направлений осей координат инерциальных систем отсчёта.

В замкнутой системе три физические величины: энергия, импульс и момент импульса (являющиеся функциями координат и скоростей) сохраняются. Такие функции называются интегралами движения. В системе из п частиц существует 6n –1 интегралов движения, но свойством аддитивности обладают лишь три из них – энергия, импульс и момент импульса.

28. Работа внешних сил при вращении твердого тела

Определим работу, которую совершают внешние силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси 00. Элементарная работа по перемещению элемента массой   равна:

где   — тангенциальная составляющая внешней силы  , действующей на элемент массой   

на вектор, параллельный оси вращения (примем ее за ось z), и вектор, ортогональный к ней. При вращении перемещение направлено по касательной к траектории, то есть, во-первых, лежит в плоскости вращения. Отсюда следует, что сила  , направленная вдоль оси вращения, работы не совершает. Во-вторых, перемещение ортогонально радиусу окружности, описываемой данным элементом. Проекцию внешней силы на плоскость вращения в свою очередь можно разложить на слагаемые

Одно из них ( ) направлено по радиусу, оно ортогонально перемещению и потому также не совершает работы. Работу совершает лишь проекция силы на касательное направление  , фигурирующая в выражении для элементарной работы.

Путь   можно записать как

Таким образом,

Заметим, что

где   — введенное выше плечо силы.

:

Поэтому элементарная работа при вращении всего твердого тела равна

где M есть полный момент всех внешних сил, а вектор   направлен вдоль оси вращения согласно правилу буравчика.

Для полной работы за время   можно записать:

Тогда, с учетом  , получаем

Согласно закону сохранения энергии работа   равняется приращению   кинетической энергии твердого тела. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна

28. Линии и трубки тока жидкости. Уравнение неразрывности струи.