3. Методика получения математической модели

При построении математической модели выделяют следующие типовые шаги:

1. Выбор свойств системы, которые должны получить отражение в модели. Например, для модели обрабатываемости резанием учитывают твердость материала, но во многих случаях пренебрегают теплоемкостью.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах системы. Например, в зависимости от скорости резания меняются условия работы режущего клина (образование нароста, высокоскоростное фрезерование). Поэтому ММ для расчета силы резания при протягивании и высокоскоростном фрезеровании могут отличаться.

3. Синтез структуры модели. Имеется в виду создание математических соотношений общего вида, без конкретных числовых значений параметров. Наиболее часто определяется либо из физических принципов функционирования системы, либо из вида эмпирических зависимостей. Например, вид зависимости силы резания от S, t, v.

4. Расчет числовых значений параметров. Например, из результатов эксперимента, обработанных по методу наименьших квадратов.

5. Оценка точности и адекватности математической модели, определение области применимости. Заключается, например, в сравнение предсказанных моделью и фактически наблюдаемых результатах.

4. Требования к математической модели

Основные требования к математическим моделям:

1. Универсальность – применимость ММ к анализу группы однотипных систем.

2. Точность – оценивается степенью совпадения параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью математической модели. Относительная погрешность  расчета выходного параметра y равна:

 = (y^факт – y^мод)/y^факт.

3. Адекватность – способность отражать заданные свойства системы с погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ имеет место только в ограниченной области изменения внешних параметров, которая называется областью адекватности математической модели.

4. Важной характеристикой ММ является устойчивость решения. Например, система уравнений

25X – 36Y = 1

16X – 23Y = –1

имеет решение – X=–59, Y=–41, но изменение значения коэффициентов всего на 0.01 меняет решение качественно:

25.01X – 36Y = 1 15.99X – 23.01Y = –1	25.01X – 35.99Y = 1 15.99X – 23.01Y = –1
НАЙТИ РЕШЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО
X= ????.??, Y=????.??	X= ????.??, Y=????.??

5. Экономичность – характеризуется затратами ресурсов ЭВМ (времени счета, необходимым требованиям к памяти и т.д.) на реализацию ММ.

5. Многокритериальный подход к оптимизации

Оптимизация – нахождение наилучшего (по каким-то критериям) решения при заданных ограничениях. Различают структурную и параметрическую. При структурной оптимизации определяется наилучшая структура системы. Например, набор и последовательность технологических операций по обработке детали. Параметрическая оптимизация – определение наилучших значений параметров элементов технической системы известной структуры. Например, определение режимов резания для максимальной скорости съема материала при заданной мощности двигателя.

Принятие решения о выборе оптимального варианта проводится на основе правил предпочтения с учетом принятых критериев качества. В основе построения правил предпочтения лежит целевая функция (ЦФ), количественно выражающая качество объекта. Ее называют также критерием оптимальности или функцией качества.

Для объективной оценки качества ЦФ должна быть одна (принцип однозначности). Но обычно техническая система имеет несколько выходных параметров (критериев оценки). Например, для самолета важны и скорость, и дальность полета, и полезная нагрузка и т.д. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называется сверткой. Существуют следующие способы объединения нескольких выходных параметров в единую ЦФ:

• частный критерий – выбирается один параметр, наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта (скорость для истребителя, мощность для двигателя);

• критерий формы функции (вариант частного критерия). Используется, когда существует эталонная зависимость одного из выходных параметров от входного, и необходимо наилучшее соответствие выходного параметра объекта этой зависимости (например, переходная характеристика усилителя или точность обработки). ЦФ представляет собой отклонение фактической зависимости от эталонной (определяется, например, по методу наименьших квадратов).

• Метод взвешенных сумм (взвешенный аддитивный критерий). Каждому выходному параметру X_i присваивается определенный вес. Это означает, что его фактическое значение умножается на некоторый коэффициент a_i, называемый весовым коэффициентом. ЦФ представляет собой сумму взвешенных выходных параметров:

• мультипликативный критерий – аналогично аддитивному, только ЦФ представляет собой произведение взвешенных выходных параметров.

При выборе ЦФ часто ориентируются на экспертные оценки, поэтому оптимальность выбора в достаточной мере условна.