7. Примеры с решениями
П
р и м е р 1.
Найти ряд Фурье
периодической
функции
которая задается на отрезке
равенством
Р е ш е н и е. График функции изображен на рис. 1.
у
3 2 О 2 3 х
Рис. 1
Эта
функция непрерывна в любой точке
и кусочно непрерывно-дифференцируема,
так как
имеет в точках
разрыв первого рода, а в остальных точках
– непрерывна.
Следовательно,
условия теоремы Дирихле – Дини выполнены
при
и рассматриваемую функцию можно разложить
в ряд Фурье (14), сходящийся в любой точке
к числу
Учитывая четность функции ее коэффициенты Фурье вычисляем по формуле (18):
Тогда по формуле (17) находим:
О т в е т:
П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье функцию:
при
Р
е ш е н и е. Рассмотрим вспомогательную
– периодическую функцию
определенную на
и совпадающую с
на
(рис. 2).
у
3 2 О 2 3 х
Рис. 2
Функция
является
периодической,
кусочно–непрерывной и кусочно
непрерывно-дифференцируемой. Причем
функции
и
терпят разрывы первого рода в точках
вида
Следовательно,
ряд Фурье, составленный для функции
совпадет при
с функцией
Поэтому,
учитывая нечетность функции
и формулы (20) при
получаем:
Значит, по формуле (19) находим искомое разложение:
О
т в е т:
П
р и м е р 3.
На интервале
разложить в ряд Фурье функцию:
Р е ш е н и е. График функции изображен на рис. 3.
у
О х
1
Рис. 3
Рассмотрим вспомогательную периодическую функцию график которой изображен на рис. 4.
у
3 2 О 2 3 х
1 Рис. 4
Непосредственно
проверяется, что функция
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле
– Дини. По формулам (15) – (16), где
найдем коэффициенты ряда Фурье функции
Следовательно, по формуле (14) получаем:
Заметим, что при построенный ряд имеет своей суммой число:
При
сумма данного ряда равна числу:
О
т в е т:
,
П р и м е р 4. Для функции из примера 1 найти сумму ее ряда Фурье.
Р
е ш е н и е. Функция
,
рассматриваемая в примере 1 (ее график
см. на рис.1), удовлетворяет всем условиям
Дирихле – Дини:
периодическая, непрерывная на всей
вещественной оси, дифференцируемая во
всех точках
в точках вида
имеет конечные односторонние производные:
Поэтому,
используя формулу (21), заключаем:
О
т в е т:
П р и м е р 5. Для функции из примера 2 найти сумму ее ряда Фурье.
Р
е ш е н и е. В данном случае функция
является
периодической, непрерывной во всех
точках вещественной оси, кроме точек
терпит разрыв первого рода в любой из
точек вида
дифференцируемая во всех точках
,
включая точки разрыва функции
.
Следовательно, по формуле (21) находим:
если
;
если
О
т в е т:
если
если
П
р и м е р 6.
Найти сумму ряда Фурье функции
периода
если
Р е ш е н и е. Графики функции и ее периодического продолжения приведены на рис. 5.
у
1
3 1 О 1 3 х
Рис. 5
а)
Найдем коэффициенты Фурье функции
Учитывая, что
то есть
вычисляем:
Итак, получили разложение:
(24)
б) Проверим выполнение условий теоремы Дирихле – Дини:
функция
является периодической с периодом
функция
является непрерывной во всех точках
вещественной оси, кроме
терпит разрыв первого рода в точках
вида
функция
имеет производную во всех точках, кроме
В точках
она имеет конечные односторонние
производные:
Следовательно, по теореме Дирихле – Дини заключаем: ряд Фурье (24) сходится в любой точке и имеет своей суммой функцию вида:
при
График функции изображен на рис. 6.
у
1
3 1 О 1 3 х Рис. 6
О
т в е т:
при
П
р и м е р 7.
Разложить в ряд Фурье функцию
при
Р
е ш е н и е. На рис. 7 представлен график
функции
с ее продолжением периода
у
3
7 3 О 1 5 9 х
1 Рис. 7
Для
построенной таким образом периодической
функции
выполнены условия теоремы Дирихле –
Дини. Воспользовавшись замечанием 6,
где
находим коэффициенты Фурье функции
=
О
т в е т:
П р и м е р 8. Разложить в ряд Фурье функцию
Р е ш е н и е. График функции изображен на рис. 8.
у
3
1
2 О 2 х Рис. 8
Рассмотрим функцию (см. рис. 9), являющуюся для ее периодическим продолжением, где
у
3
1
6 4 2 О 2 4 6 х Рис. 9
Нетрудно
видеть, что функция
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле
– Дини:
периодическая;
кусочно–непрерывная; имеет разрыв
первого рода в точках вида
имеет непрерывную производную
во всех точках
Построим
ряд Фурье для функции
Найдем предварительно его коэффициенты:
Следовательно, получаем:
(25)
Ряд (25) сходится
и имеет сумму:
при
при
при
Следовательно, справедливо равенство:
при
О
т в е т:
.
П
р и м е р 9.
Функцию
,
заданную на интервале
,
разложить в ряд Фурье по синусам.
Р
е ш е н и е. Рассмотрим вспомогательную
функцию
график которой изображен на рис. 10.
у
О
2
3 х
-
Рис. 10
Она периодическая, нечетная. По формуле (20) вычисляем:
Следовательно, согласно теореме Дирихле – Дини получаем:
О т в е т:
П
р и м е р 10.
Функцию
на отрезке
разложить в ряд Фурье по косинусам.
Р
е ш е н и е. Рассмотрим
периодическую
четную функцию
график которой изображен на рис.11.
у
2
4 2 О 2 4 х Рис. 11
Для нее по формулам (18) находим коэффициенты ряда Фурье:
Следовательно, учитывая теорему Дирихле – Дини, получаем:
О
т в е т:
П
р и м е р 11.
Разложить в ряд Фурье функцию
а) на
по синусам; б) на
по косинусам; в) на
Р е ш е н и е. а) Чтобы разложить функцию на только по синусам, рассмотрим ее нечетное периодическое продолжение на всю числовую ось (см. рис. 12).
у
22
3 О х
2 Рис. 12
Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:
Следовательно,
при
справедливо равенство:
б) Чтобы разложить функцию на только по косинусам, рассмотрим ее четное периодическое продолжение на всю числовую ось (см. рис. 13).
у
22
3 О х Рис. 13
Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:
Следовательно,
при
для функции
справедливо равенство:
в)
Для того чтобы функцию
разложить на интервале
рассмотрим ее
периодическое
продолжение на всю числовую ось, график
которого приведен на рис. 14.
у
82
4 2 О 2 4 х Рис. 14
Вычислим для этой функции коэффициенты Фурье:
Следовательно,
на
для функции
справедливо представление:
О
т в е т: а)
б)
в)
П
р и м е р 12.
Пользуясь разложением функции
в ряд Фурье на
,
найти сумму ряда: а)
б)
Р
е ш е н и е. Функция
,
заданная на отрезке
и продолженная четным образом, имеет
ряд Фурье:
(26)
Следовательно, при из (26) находим:
При
формула (26) принимает вид:
О
т в е т: а)
б)
