5. Условия сходимости ряда фурье к исходной функции

Справедливо следующее утверждение, дающее ответ на вопрос: при каких условиях на функцию построенный для нее ряд Фурье (14) имеет своей суммой именно функцию

Т е о р е м а Д и р и х л е  Д и н и (достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье). Пусть функция удовлетворяет условиям:

1. периодическая;

2. кусочно–непрерывная на то есть непрерывна или имеет на конечное число точек разрыва первого рода;

3. имеет в каждой точке (включая точки разрыва) конечные правую и левую производные

Тогда ряд Фурье (14), составленный для функции сходится в каждой точке и его сумма в этой точке вычисляется по формуле:

(21)

З а м е ч а н и е 10. Если функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле – Дини и является непрерывной, то ее ряд Фурье сходится к функции равномерно на всей числовой оси.

З а м е ч а н и е 11. Из теоремы Дирихле – Дини следует, что сходимость ряда Фурье в точке зависит только от поведения функции в малой окрестности этой точки. Значит, если две функции, удовлетворяющие этой теореме, совпадают в окрестности некоторой точки то в точке суммы их рядов Фурье совпадут.

З а м е ч а н и е 12. При выполнении условий теоремы Дирихле –Дини в точках непрерывности функции между и ее рядом Фурье ставят знак «=» вместо знака «~».

6. Ряд фурье для непериодической функции

Чтобы построить ряд Фурье функции заданной на отрезке , кусочно-непрерывной на , имеющей в каждой точке конечные односторонние производные, воспользуемся следующей с х е м о й:

• Построим функцию , называемую периодическим продолжением функции на всю числовую ось, совпадающую с функцией на и удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле – Дини. Число любое число, удовлетворяющее неравенству: .

• Разложим функцию в ряд Фурье. Этот ряд сходится в любой точке и его сумма вычисляется по формуле:

• Назовем построенный ряд рядом Фурье функции на отрезке . Он сходится и имеет своей суммой число в любой точке где функция непрерывна.

З а м е ч а н и е 13. Разлагая в ряд Фурье непериодическую функцию заданную на отрезке , мы имеем возможность по собственному усмотрению, во-первых, варъировать числом (выбирая его из условия во-вторых, доопределять функцию на всю числовую ось различными способами. Это приводит к различным (по внешнему виду) рядам Фурье для функции на , имеющим в любой точке непрерывности функции одну и ту же сумму .

З а м е ч а н и е 14. Любую функцию определенную на отрезке и обладающую там указанными в теореме Дирихле – Дини свойствами непрерывности, можно на этом отрезке разложить как в ряд Фурье вида (17), вида (19), так и общего вида (14). Это объясняется возможностью продления функции на или по закону четности, или нечетности, или какому–либо другому.

З а м е ч а н и е 15. Для решения примеров полезно знание следующих формул, легко получаемых методом интегрирования по частям:

(22)

(23)

З а м е ч а н и е 16. Ряд Фурье (14) функции можно почленно интегрировать в интервале получая разложение в ряд Фурье функции