2. Ортогональная система функций

О п р е д е л е н и е 3. Система функций

называется ортогональной на отрезке если выполнены условия:

,

О п р е д е л е н и е 4. Система функций

называется ортонормированной на отрезке если она ортогональная и выполнено условие:

Т е о р е м а 1. Система тригонометрических функций

(6)

является ортогональной на любом отрезке длины

З а м е ч а н и е 2. Система функций

(7)

где некоторое положительное число, является ортогональной на любом отрезке длины . При этом справедливы равенства:

З а м е ч а н и е 3. Система функций

(8)

где некоторое положительное число, является ортонормированной на любом отрезке длины

3. Тригонометрические ряды

О п р е д е л е н и е 5. Функциональный ряд вида

(9)

называется тригонометрическим рядом. Числа ,… называются коэффициентами тригонометрического ряда (9).

З а м е ч а н и е 4. Так как любая из функций , является периодической, то частичная сумма ряда (9) также будет периодической функцией. Следовательно, если ряд (9) сходится, то есть существует предел , то сумма ряда (9) является периодической функцией.

Т е о р е м а 1. Пусть тригонометрический ряд (9) сходится и его сумма равна то есть имеет место представление

, (10)

допускающее почленное интегрирование на отрезке . Тогда числа связаны с функцией по формулам:

(11)

(12)

4. Ряд фурье для периодической функции

О п р е д е л е н и е 6. Рядом Фурье периодической функции называется тригонометрический ряд

, (13)

коэффициенты которого называемые коэффициентами Фурье функции , вычислены по формулам (11), (12).

О п р е д е л е н и е 7. Частичная сумма порядка ряда (13) называется суммой Фурье порядка

З а м е ч а н и е 5. Тот факт, что ряд (13) для функции является ее рядом Фурье, обозначают следующим образом:

(14)

З а м е ч а н и е 6. При вычислении коэффициентов Фурье формулы (11), (12) можно заменить следующими:

(15)

(16)

где произвольное фиксированное число.

З а м е ч а н и е 7. Ряд Фурье (13) четной периодической функции содержит только свободный член и косинусы углов, кратных , и имеет вид:

(17)

где

(18)

З а м е ч а н и е 8. Ряд Фурье (13) нечетной периодической функции содержит только синусы углов, кратных , и имеет вид:

(19)

где

. (20)

З а м е ч а н и е 9. Полезно знание следующих свойств ряда Фурье:

1. если функция кусочно–непрерывная на отрезке , то ее коэффициенты Фурье при стремятся к нулю, то есть

2. среди всех тригонометрических многочленов

порядка наименьшее среднее квадратичное отклонение от функции имеет тот многочлен, коэффициенты которого есть коэффициенты Фурье функции то есть