9. Примеры

Написать три первых члена ряда Маклорена для функций:

1. 2. 3.

Написать три первых члена ряда Тейлора для функций:

4. в точке 5. в точке

6. Разложить многочлен по степеням

Разложить функции в ряд Тейлора, указать интервал сходимости ряда:

7. в точке 8. в точке

Указать ряд Маклорена функций и указать его интервал сходимости:

9. 10. 11. 12. 13. 14.

Найти ряд Тейлора функций и указать его интервал сходимости:

15. по степеням _16. по степеням

17. по степеням 18. по степеням

19. Вычислить с точностью

20. Вычислить с точностью

♦ ♦ ♦

21. Написать четыре первых члена ряда Маклорена для функции

22. Разложить функцию по степеням и найти интервал сходимости полученного ряда.

23. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область его сходимости.

24. Разложить многочлен по степеням

Разложить функции по степеням и указать интервал сходимости рядов:

25. 27. 26. 27. 28. 29.

Написать разложения функций и указать интервалы сходимости рядов:

30. по степеням 31. по степеням

32. по степеням 33. по степеням

10. Ответы

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7.

8.

9. 10.

11. 12.

13.

14. 15.

16. 17.

18. 19. 1,0196. 20. 0,102.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33.

§ 11. Ряды фурье

1. Периодические функции и их свойства

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется в области периодической функцией с периодом Т (или Т– периодической функцией), если существует такое положительное число Т, при котором и

(1)

Наименьшее из чисел Т, при которых выполнено условие (1), называется главным периодом функции .

О п р е д е л е н и е 2. Процессы, описываемые периодическими с периодом функциями

(2)

где постоянные числа и называют гармоническими колебаниями. При этом называют:

периодом колебаний, круговой частотой колебаний,

амплитудой колебаний, фазой колебаний,

начальной фазой (или сдвигом фазы).

Свойства периодических функций

С в о й с т в о 1. Линейная комбинация любого конечного числа периодических функций есть периодическая функция периода

С в о й с т в о 2. Для любой периодической на функции справедливо равенство:

, (3)

где целое число, такое, что .

С в о й с т в о 3. Пусть функция является в области периодической с периодом Тогда ее график на любых отрезках и где целиком лежащих в и имеющих длину периода связаны параллельным переносом на вектор

С в о й с т в о 4. Пусть функция является в области периодической с периодом Тогда справедливо равенство:

(4)

при любых числах и таких, что ,

С в о й с т в о 5. Пусть функция является в области периодической с периодом Тогда справедливо равенство:

(5)

при любых числах и таких, что ,

С л е д с т в и е. Пусть функция является в области периодической с периодом Тогда справедливы равенства:

если ,