8. Примеры с решениями
П
р и м е р 1.
Для функции
найти многочлен Тейлора
с центром в точке: а)
б)
Р
е ш е н и е. Функция
дифференцируема по
любое число раз на интервале
При этом имеем:
Следовательно, по формуле (7) получаем:
…
.
Поэтому многочлен Тейлора для рассматриваемой функции можно записать по формуле (1):
Таким образом, получаем:
а)
при
б) при
О
т в е т: а)
б)
П
р и м е р 2.
Найти ряд Маклорена для функции
Р
е ш е н и е. С
п о с о б I.
Функция
дифференцируема по
любое число раз на интервале
Вычисляем:
Проверим,
что
Предположив, что эта формула верна при
некотором
то есть
найдем
Следовательно,
согласно методу математической индукции,
формула
верна при любом натуральном
Поэтому получаем:
.
Следовательно,
ряд Маклорена для функции
имеет
вид:
С
п о с о б
II.
Так как
то
В этой формуле знак «=» между функцией и ее рядом Маклорена поставлен на основании знака «=» в формуле (11) и свойств степенных рядов в их интервале сходимости.
О
т в е т:
П
р и м е р 3.
Разложить функцию
по степеням
.
Р
е ш е н и е. Из формулы (11) получаем
заменой
на
:
.
Поэтому получаем:
О
т в е т:
П
р и м е р 4.
Разложение в ряд Маклорена функцию
.
Р
е ш е н и е. Так как
то, воспользовавшись формулой (16),
находим:
О т в е т:
П р и м е р
5.
Написать разложение функции
по степеням
Р
е ш е н и е. Обозначим:
Тогда справедливо представление:
(24)
Воспользуемся
рядом (18) для разложения функции
Следовательно, по формуле (24) находим:
О
т в е т:
П
р и м е р 6.
Разложить функцию
по степеням
.
Р
е ш е н и е. Пусть
(значит,
).
Тогда из основного разложения (11)
получаем:
.
Отсюда находим:
.
О
т в е т:
.
П
р и м е р 7.
Разложить функцию
по степеням
Р
е ш е н и е. Обозначим:
Тогда справедливо представление:
Поэтому
с учетом формулы (17) при
получаем:
О
т в е т:
П
р и м е р 8.
Разложить функцию
по степеням
Р
е ш е н и е. Обозначим:
Тогда с учетом формул приведения
справедливы равенства:
Поэтому, воспользовавшись разложением (16), получаем:
О т в е т:
П
р и м е р 9.
Разложить функцию
по степеням
.
Р
е ш е н и е. Обозначим:
.
Тогда
и справедливы равенства:
.
Пусть
.
Тогда, воспользовавшись основным разложением (21), имеем:
.
(25)
Так
как ряд (21) сходится при
и
,
то разложение (25) справедливо при
,
удовлетворяющих неравенствам:
О
т в е т:
.
П
р и м е р 10.
Вычислить
с точностью
Р
е ш е н и е. Воспользуемся разложением
(11) функции
в ряд Маклорена. Тогда при
получаем:
(26)
Подберем натуральное число так, чтобы погрешность приближенного равенства
где
не превышала
Для этого оценим остаточный член ряда
(26):
Следовательно,
число
нужно подобрать таким, чтобы выполнялось
неравенство:
Пусть, например,
тогда
и
Аналогично
проверяем:
но
Следовательно, выбираем:
,
при этом
Тогда приближенно с точностью
получаем:
.
О
т в е т:
П
р и м е р 11.
Вычислить число
с точностью 0,01.
Р
е ш е н и е. Воспользуемся рядом Маклорена
для функции
:
.
Пусть
(
). Тогда получаем:
.
Напомним,
что
.
Поэтому
.
(27)
Обозначим:
.
Тогда получим:
,
.
Следовательно,
учитывая, что в (27) фигурирует
знакочередующийся ряд и погрешность
приближенного равенства
не превосходит по модулю числа
,
заключаем: для вычисления числа
с точностью до 0,01 достаточно в равенстве
(27) ограничиться первыми четырьмя
членами.
Таким образом, получаем:
.
Выполнив
указанные действия, находим:
.
О
т в е т:
.
П
р и м е р 12.
Вычислить
с точностью 0,0001.
Р е ш е н и е. Предварительно найдем ряд Маклорена для функции
.
Известно,
что
.
Поэтому, пользуясь основным разложением
,
имеем после замены х на (-х):
Эти
ряды сходятся абсолютно при
.
Значит, их можно почленно вычитать.
Следовательно, при
получаем:
.
Итак, находим:
.
Пусть
.
Тогда
,
откуда получаем:
(28)
Для полученного ряда вычисляем его остаточный член:
;
.
Тогда для вычисления с требуемой точностью 0,0001 достаточно ограничиться в разложении (4) первыми четырьмя членами.
Следовательно, получаем приближенное равенство:
.
О т в е т: 0,69392.
П
р и м е р 13.
Найти предел:
.
Р е ш е н и е. Вычисляем редел:
+0
.
О т в е т: 1/6.
П р и м е р 14. Вычислить предел:
.
Р
е ш е н и е. Подстановкой значения
убеждаемся, что под знаком предела
имеем неопределенность вида
.
Воспользовавшись разложениями (11) и
(15), получаем:
О т в е т: 2.
П
р и м е р 15.
Вычислить интеграл
с точностью
Р е ш е н и е. Используя разложение (16), получаем:
Тогда, интегрируя почленно данный ряд, находим:
(27)
Чтобы вычислить сумму ряда (27) приближенно с точностью до воспользуемся тем, что (27) знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. Следовательно, число подберем так, чтобы выполнялось неравенство:
Проверкой
устанавливаем, что наименьшим натуральным
числом, удовлетворяющим этому неравенству,
является
Тогда находим:
О т в е т: 0,2483.