4. Достаточные условия сходимости ряда тейлора

Т е о р е м а 3. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производные любого порядка. Пусть существует такое число , что справедливы неравенства:

,

для всех , где радиус сходимости ряда Тейлора (5). Тогда ряд Тейлора (5) сходится в интервале к функции .

5. Алгоритм разложения функции в ряд тейлора

Для решения задачи о возможности разложения функции , которая имеет в некоторой окрестности точки производные любого порядка, в ряд по степеням , то есть в ряд Тейлора с центром в точке , используют, как правило, следующую с х е м у:

• вычислить коэффициенты ряда Тейлора, воспользовавшись формулами:

• составить для функции ее ряд Тейлора с центром в точке :

(10)

• найти область сходимости степенного ряда (10);

• найти для функции остаточный член соответствующей формулы Тейлора, воспользовавшись, например, представлением Лагранжа (2);

• найти область , в которой для любого выполнено условие:

Если , то функция не разлагается в окрестности в ряд по степеням . Если , то функция в области разлагается в ряд по степеням , причем

6. Ряды маклорена для некоторых функций

Справедливы следующие так называемые основные разложения в ряды Маклорена:

; (11)

; (12)

; (13)

; (14)

; (15)

; (16)

, (17)

; (18)

(19)

(20)

; (21)

; (22)

, (23)

где .

7. Приближенные вычисления с помощью рядов тейлора

Ряды Тейлора и Маклорена широко применяются для приближенных вычислений значений функции пределов, определенных интегралов, решений дифференциальных уравнений. Например, для вычисления значения функцию приближенно заменяют многочленом Тейлора , а затем полагают

О п р е д е л е н и е 6. Функция является в точке бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем функция , если

.

В этом случае пишут: при .

З а м е ч а н и е 6. Символ обозначает л ю б у ю функцию, бесконечно малую в точке , имеющую более высокий порядок малости, чем .

Справедливы с в о й с т в а:

1) , 2) , 3) ,

4) при , 5) .

О п р е д е л е н и е 7. Если при функция представима в виде суммы , где , то говорят, что функция – главная часть функции при .

Основные разложения (11)-(23) позволяют легко выделять главные части многих функций. Например, при имеем:

, ,

, .

Знание главных частей функций часто используется при вычислении пределов.