8. Примеры
Найти области сходимости функциональных рядов:
1.
2.
3.
4.
Найти интервалы сходимости степенных рядов:
5.
6.
7.
Найти области сходимости степенных рядов:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Найти сумму, применив почленное интегрирование или дифференцирование:
22.
23.
9. Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
при
§ 10. Разложение функций в степенные ряды
1. Формула тейлора
Т
е о р е м а 1
(формула
Тейлора).
Пусть функция
имеет производные до
-го
порядка включительно в некоторой
окрестности
точки
.
Тогда для любого
справедлива формула
Тейлора :
(1)
где
остаточный
член
формулы
Тейлора
имеет вид:
(2)
О п р е д е л е н и e 1. Многочлен
называется
многочленом
Тейлора
порядка
с
центром в точке
для функции
О
п р е д е л е н и e
2. Числа
, вычисленные по формулам
,
(3)
называются коэффициентами формулы Тейлора с центром в точке для функции
О
п р е д е л е н и e
3. Функция
,
вычисленная по формуле
,
(4)
называется остаточным членом формулы Тейлора с центром в точке для функции
З а м е ч а н и е 1. Для остаточного члена известны различные представления. В частности, формула (2) носит название остаточного члена в форме Лагранжа.
2. Определения рядов тейлора и маклорена
Пусть
функция
имеет в некоторой окрестности
точки
производные любого порядка.
О п р е д е л е н и е 4. Степенной ряд вида
(5)
называется рядом Тейлора с центром в точке для функции .
О п р е д е л е н и е 5. Степенной ряд вида
(6)
называется
рядом
Маклорена
с центром в точке
для функции
З а м е ч а н и е 2. Тот факт, что ряд (5) является для ее рядом Тейлора в окрестности , будем обозначать символом «~», то есть писать:
(7)
З
а м е ч а н и е 3. Ряд
Маклорена (6) является частным случаем
ряда Тейлора (5), если
.
3. Условие сходимости ряда тейлора к исходной функции
Т
е о р е м а 2
(необходимое
и достаточное условие сходимости ряда
Тейлора к исходной функции).
Пусть функция
имеет
в некоторой окрестности
точки
производные любого порядка. Для того
чтобы ее ряд Тейлора (5) в его интервале
сходимости
сходился и имел своей суммой функцию
необходимо и достаточно выполнения
условия:
,
(8)
где
остаточный член соответствующей
формулы Тейлора (1).
З а м е ч а н и е 4. При выполнении условия (8) ряд (5), построенный для функции , сходится в своем интервале сходимости именно к этой функции . Данный важный факт выделяют следующим образом: в формуле (7) знак «~» заменяют знаком «=», то есть пишут:
(9)
указывая при этом интервал , в котором равенство (9) справедливо. В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора (9) на интервале .
З а м е ч а н и е 5. Теорема 2 сохраняет силу и для ряда Маклорена (6), который является частным случаем ряда Тейлора при .