7. Примеры с решениями

П р и м е р 1. Найти предельную функцию и определить характер сходимости функциональной последовательности

(15)

на отрезке .

Р е ш е н и е. Для всех справедливы неравенства:

.

Поэтому, выбрав произвольное число , найдем номер , зависящий только от , где обозначено: целая часть числа . При таком выборе будет выполнено неравенство: . Значит, для в с е х . Следовательно, последовательность (15) имеет предельную функцию, причем

,

Поэтому справедливо свойство:

.

О т в е т: сходится к функции равномерно на .

П р и м е р 2. Найти предельную функцию и определить характер сходимости функциональной последовательности

(16)

на отрезке .

Р е ш е н и е. В данном случае для всех справедливы неравенства:

,

причем

Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения, равного , в точке (см. рис.1). Причем, если , то

При любом ф и к с и р о в а н н о м справедливо неравенство:

Значит, выбрав , найдем номер , зависящий от и от что при всех имеем: Значит, для функций (16) справедливо равенство (2). Однако при этом не существует номера , зависящего только от который годился бы для всех , что наглядно следует из анализа функций на рис.1.

у

1/2

О 1/4 1/2 1 х Рис. 1

О т в е т: : сходится к функции неравномерно на .

П р и м е р 3. Найти область сходимости функционального ряда:

(17)

Р ш е н и е. Функции являющиеся членами ряда (17), определены в области

Заметим, что ряд (17) образован членами геометрической прогрессии первый член которой равен и знаменатель Следовательно, ряд (17) сходится (абсолютно), если и расходится, если

В рассматриваемом случае получаем:

Поэтому область сходимости ряда (17)  интервал

О т в е т: сходится абсолютно при

П р и м е р 4. Найти область сходимости функционального ряда:

. (18)

Р е ш е н и е. Рассмотрим вспомогательный ряд, являющийся абсолютным для ряда (18):

. (19)

Заметим, что при любом фиксированном справедливо неравенство: . Причем ряд , являющийся рядом Дирихле с показателем , сходится. Значит, ряд (19) сходится в точке по первому признаку сравнения положительных рядов. Но ряд (19) является абсолютным рядом для ряда (18) в точке .

Следовательно, при любом фиксированном ряд (18) сходится абсолютно и для него Если проанализировать ряд (18) с помощью признака Вейерштрасса, получим: ряд сходится равномерно на .

_{О т в е т:}

П р и м е р 5. Исследовать на сходимость ряд , где

, .

Р е ш е н и е. Заметим, что для рассматриваемого ряда я частичная сумма равна:

.

Поэтому вопрос о сходимости функциональной последовательности равносилен вопросу о сходимости функциональной последовательности , которая изучалась в примере 2.

Следовательно, воспользовавшись результатами примера 2 , заключаем: рассматриваемый ряд сходится на отрезке к функции (но сходится неравномерно).

О т в е т: сходится неравномерно.

П р и м е р 6. Найти область сходимости функционального ряда:

(20)

Р е ш е н и е. В данном случае функции , являющиеся членами ряда (20), определены при всех то есть в области

Исследуем ряд (20) на абсолютную сходимость. Для этого составим вспомогательный абсолютный ряд:

. (21)

Члены ряда (21) задаются формулой:

Вычислим предел:

Следовательно, по признаку Даламбера ряд (21) сходится (а значит, ряд (20) сходится абсолютно), если Тогда

Итак, ряд (20) сходится абсолютно при

При и признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (21). При абсолютный ряд (21) расходится. Но при исходный ряд (20) является положительным и совпадает со своим абсолютным рядом (21). Следовательно, при ряд (20) расходится.

Таким образом, остается ответить на следующие вопросы:

а) сходится ли ряд (20) при ; б) сходится ли ряд (20) при ;

в) сходится ли условно ряд (20) при

Изучим поставленные вопросы.

а) При ряд (20) является положительным числовым рядом. Он имеет вид и расходится по необходимому признаку сходимости числовых рядов: его общий член в пределе при не стремится к нулю.

б) При ряд (20) имеет вид и расходится по необходимому условию сходимости числовых рядов.

в) Возьмем произвольное число и рассмотрим ряд (20) при . Он примет вид и является знакочередующимся рядом.

Нетрудно видеть, что при имеем: и причем Следовательно, , и изучаемый ряд расходится (по необходимому признаку сходимости числовых рядов).

Таким образом, ряд (20) абсолютно сходится при и расходится при

О т в е т: область сходимости ряда: во всех точках области ряд сходится абсолютно.

П р и м е р 7. Найти радиус и область сходимости степенного ряда: .

Р е ш е н и е. В данном случае .

Для определения радиуса сходимости воспользуемся первой формулой из (11):

.

Следовательно, , рассматриваемый ряд сходится абсолютно только при . Значит, – его область сходимости.

О т в е т. ; – область сходимости.

П р и м е р 8. Найти радиус область сходимости степенного ряда: .

Р е ш е н и е. В данном случае . Поэтому, воспользовавшись первой из формул (11), находим радиус сходимости рассматриваемого ряда:

Следовательно, для данного в примере ряда . Значит, ряд абсолютно сходится при любом

О т в е т: ; область сходимости.

П р и м е р 9. Найти интервал сходимости степенного ряда:

(22)

Р е ш е н и е. Вычислим радиус сходимости ряда (22) по второй из формул (11), где для данного ряда

Следовательно, ряд (22) сходится (абсолютно) на интервале

О т в е т:

П р и м е р 10. Найти интервал и область сходимости степенного ряда:

. (23)

Р е ш е н и е. 1) Найдем интервал сходимости ряда (23). Для этого рассмотрим соответствующий абсолютный ряд:

. (24)

Применим к его исследованию признак Даламбера. Вычисляем:

.

Поэтому для сходимости ряда (24) потребуем выполнения условия:

Значит, на интервале ряд (23) сходится абсолютно. Вне этого интервала (при ) ряд (23) расходится. Таким образом, осталась неисследованной сходимость ряда (23) в точках и .

2) Исследуем поведение ряда (23) в точке .

В этом случае ряд (23) превращается в положительный числовой ряд:

. (25)

Сравним ряд (25) с гармоническим рядом . Так как

,

то по второму признаку сравнения положительных рядов ряд (25) расходится в силу расходимости гармонического ряда.

Значит, точка не входит в область сходимости ряда (23).

3) Исследуем поведение ряда (23) в точке . При ряд (23) превращается в знакочередующийся числовой ряд:

. (26)

Заметим, что для ряда (26) абсолютным рядом является исследованный выше ряд (25). Так как мы установили расходимость ряда (25), то ряд (26) не сходится абсолютно.

Исследуем ряд (26) на условную сходимость. Для ряда (26) имеем: . Проверим выполнение условий признака Лейбница.

а) .

б) Исследуем функцию на монотонность. Вычисляем: .

Поэтому

.

Следовательно, имеем следующее расположение знаков функции :

_ + _

х

Итак, при , то есть убывает при всех .

Отсюда следует, что последовательность является убывающей:

Следовательно, для ряда (26) выполнены все условия признака Лейбница, в силу чего ряд (26) сходится условно.

Значит, изучаемый степенной ряд (23) сходится условно при Тем самым точка входит в область сходимости ряда (23).

О т в е т: интервал сходимости; область сходимости; ряд сходится абсолютно в интервале ; ряд сходится условно при

П р и м е р 11. Найти интервал сходимости и область сходимости степенного ряда:

(27)

Р е ш е н и е. 1) Найдем интервал сходимости ряда (27), где . Вычислим предел:

Следовательно, по признаку Даламбера ряд (27) абсолютно сходится при удовлетворяющих неравенству: Значит, интервал сходимости степенного ряда (27).

Для того чтобы найти область сходимости ряда (27), остается исследовать его на сходимость в точках и

2) Исследуем ряд (27) на сходимость при . Заметим, что при ряд (27) имеет вид

и является рядом Дирихле с показателем Следовательно, при ряд (27) расходится.

3) Исследуем ряд (27) на сходимость при При таком ряд (27) имеет вид

(28)

и является знакочередующимся рядом. Причем, его абсолютный ряд расходится (как ряд Дирихле с показателем Значит, при ряд (27) не сходится абсолютно.

Проверим для ряда (28) условия теоремы Лейбница. Пусть Тогда имеем:

,

так как

Следовательно, по признаку Лейбница при ряд (27) сходится условно.

О т в е т: интервал сходимости; область сходимости,

в точке ряд сходится условно, при ряд сходится абсолютно.

П р и м е р 12. Найти область сходимости степенного ряда:

(29)

Р е ш е н и е. 1) Найдем интервал сходимости ряда (29). Обозначим: Вычислим предел:

Следовательно, по признаку Даламбера исходный ряд (29) сходится абсолютно при то есть при что равносильно неравенству: Значит, интервал сходимости ряда (29).

2) Исследуем сходимость ряда (29) при При ряд (29) имеет вид:

Это  положительный ряд. Сравним его со сходящимся рядом Дирихле Очевидно Тогда по первому признаку сравнения ряд сходится. Значит, ряд (29) сходится (абсолютно) при

3) Исследуем сходимость ряда (29) при

При ряд (29) имеет вид и является знакочередующимся рядом. Его абсолютный ряд сходится (как только что установлено выше). Следовательно, ряд (29) при сходится (абсолютно).

О т в е т: область сходимости, для всех х ряд сходится абсолютно.

П р и м е р 13. Найти область сходимости ряда:

. (30)

Р е ш е н и е. Ряд (30) является степенным рядом с центром в точке .

1. Найдем радиус сходимости ряда (30):

Следовательно, ряд (30) сходится абсолютно при

2. Исследуем ряд (30) на сходимость в точке , где он совпадает со следующим рядом:

Полученный ряд является положительным. Он расходится по второму признаку сравнения, т.к. эквивалентен с точки зрения сходимости гармоническому ряду , что следует из вычисленного ниже предела:

3. Исследуем ряд (30) на сходимость в точке , где он совпадает со следующим рядом:

.

Этот ряд является знакочередующимся. Его абсолютный ряд расходится, доказано выше. Значит, ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость по признаку Лейбница. Обозначим: Тогда получим: а)

б) убывает, так как откуда заключаем:

то есть

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится условно.

О т в е т: .

П р и м е р 14. С помощью операции почленного дифференцирования найти сумму степенного ряда:

( ). (31)

Р е ш е н и е. Обозначим сумму ряда (31) через то есть

.

Почленно дифференцируем степенной ряд в его интервале сходимости:

, где (32)

Ряд (32) составлен из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . При ряд (32) имеет сумму . Следовательно, в рассматриваемом примере при Тогда находим: при

О т в е т: .

П р и м е р 15. С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда:

. (33)

Р е ш е н и е. 1) Найдем интервал сходимости степенного ряда (33). Обозначив , находим радиус сходимости:

Следовательно, при ряд (33) сходится абсолютно и допускает почленное интегрирование.

2) Пусть сумма ряда (33). Тогда, проинтегрировав (33) почленно по от 0 до получим:

(34)

Причем ряд (34) сходится абсолютно на интервале

Но ряд (34) составлен из членов геометрической прогрессии у которой первый член и знаменатель Следовательно, при имеем: Поэтому из (34) заключаем: откуда

О т в е т:

П р и м е р 16. Найти сумму ряда

(35)

Р е ш е н и е. 1) Найдем интервал сходимости степенного ряда (35). Обозначим: Тогда вычисляем:

Следовательно, по признаку Даламбера ряд (35) сходится абсолютно, если то есть Значит, интервал сходимости степенного ряда (35).

2) Обозначим: сумма ряда (35),

Продифференцировав ряд (35) почленно по , получим степенной ряд:

Полученный ряд образован из членов геометрической прогрессии у которой и Значит, при его сумма вычисляется по формуле:

Поэтому откуда находим:

О т в е т: