5. Уравнения количества движения и уравнения момента количества движения

В предыдущем разделе при анализе кинематики потока в ступенях турбокомпрессоров был рассмотрен процесс преобразования в лопаточных решетках кинетической энергии потока в потенциальную. Установим связь между кинематикой потока в ступени и механической работой, подводимой к газовому потоку в РК (теоретический напор h_Т ).

Теоретический напор h_Т (Дж/кг) – работа, подведенная к газу в РК без учета трения наружной поверхности дисков о газ и протечек:

, (3.18)

где h_тр – потери энергии на трение наружной поверхности дисков РК о газ, Дж/кг; h_пр – потери энергии на протечки в зазорах между дисками РК и корпусом, Дж/кг.

Для осевого компрессора поверхности дисков невелики, следовательно, и .

Теоретическая работа, в принципе, определяется мощностью, затрачиваемой на вращение колеса:

,

где N_Т – мощность, затрачиваемая на вращение РК, Вт; G – массовый расход, кг/с.

Известно, что мощность на валу

,

где M_z – крутящий момент относительно оси вращения z, Н·м; ω – угловая частота вращения, с^-1.

Крутящий момент на валу РК M_z можно рассчитать, если известны касательные напряжения на поверхностях лопаток и перепад давлений на них

,

где – сила перепада давлений, Н; – сила трения газа о поверхности лопаток (рис. 3.19):

, (3.19)

где Р–перепад давлений на элементе лопатки dS_л, Н/м²; S_л – площадь поверхности лопатки, м²; τ – касательные напряжения трения, Н/м²; z_л– число лопаток.

Однако сложность течения в РК, обусловленная наличием пограничных слоев, отрывных течений и эффектов вращения приводит к тому, что расчет M_z по формуле (3.19) не обеспечивает требуемой точности и на практике вместо уравнения (3.19) используют уравнение Эйлера.

Рис. 3.19. К определению крутящего момента относительно оси вращения

1-й способ вывода уравнения Эйлера, основанный на принципе Даламбера

В качестве примера рассмотрим РК центробежного компрессора (рис. 3.20).

Выделим на некотором радиусе R элементарную частицу газа δm, которая перемещается в относительном движении в межлопаточном канале по траектории с радиусом кривизны R_W.

Определимсилы инерции, действующие на выделенную элементарную частицу газа.

Поскольку частица перемещается при вращении РК с угловой скоростью ω по некоторому радиусу R, следовательно, на нее действует центробежная сила в переносном движении .

В относительном движении частица также перемещается по дуге окружности, следовательно, на нее будет действовать центробежная сила в относительном движении .

Как известно, в случае участия одновременно в двух движениях – относительном и переносном, к частице приложена кориолисова сила . Направление ее совпадает с направлением вектора , повернутого на 90º в сторону, противоположную вращению колеса.

Кроме того, в случае наличия вязкости, будет иметь место касательная сила трения в относительном движении .

В соответствии с принципом Даламбера векторная сумма сил инерции равна и противоположна по направлению сумме действующих сил, то есть для определения затрат работы можно воспользоваться только силами инерции.

Таким образом, чтобы определить внешний момент M_z, приложенный к колесу, можно просуммировать моменты, вызванные силами инерции:

.

Рис. 3.20. К выводу уравнения Эйлера по 1-му способу: R_w – радиус кривизны траектории частицы в относительном движении; R₂–радиус наружной поверхности РК; R₁ – радиус входа на лопатки

Примем момент положительным (dM>0), если он направлен против направления угловой скорости ω.

Поэтому моменты сил инерции, действующие относительно оси вращения z, будут иметь следующие знаки:

• по оси r - dM_r= 0;

• по оси n - dM_n< 0; dM_кор> 0;

• по оси s - dM_s< 0.

Момент от центробежной силы в относительном движении

. (3.20)

Момент от касательной силы трения

. (3.21)

Момент от кориолисовой силы

. (3.22)

Преобразуем уравнения (3.20)– (3.22) с учетом того, что:

• относительная скорость есть производная пути по времени ;

• отношение массы элементарной частицы к бесконечно малому интервалу времени есть массовый расход ;

• радиус кривизны траектории частицы в относительном движении описывается уравнением ;

• синус текущего угла установки лопатки на некотором радиусе R

.

С учетом этих соотношений преобразуем выражения (3.20) – (3.22).

Момент от центробежной силы в относительном движении

,

. (3.23)

Момент от касательной силы трения

(3.24)

Момент от кориолисовой силы

,

. (3.25)

Теоретический напор ,

.

Подставив в последнее выражение формулы (3.23) – (3.25), получим

Интегрируя по радиусу от R₁до R₂

с учетом того, что

из треугольника скоростей (рис. 3.21) известно: , поэтому

раскрывая скобки, получаем

. (3.26)

Выражение (3.26) называется уравнением Эйлера в форме записи через закрутки потока.

Рис. 3.20. Треугольник скоростей: ;

2-й способ вывода уравнения Эйлера

Результаты взаимодействия потока с лопаточными аппаратами могут быть получены с помощью теорем о количестве движения и о моменте количества движения.

Выделим в установившемся в относительном движении потоке газа элементарную трубку тока между сечениями 1 и 2 (рис. 3.22).

Согласно теореме об изменении количества движения, если скорость газа, протекающего по какому-либо каналу меняется по величине и направлению, то на стенки канала действует сила Р, равная изменению количества движения в единицу времени:

.

Если газ протекает через вращающееся колесо, то на последнее действует момент, равный разности моментов количества движения входящего и выходящего газа. Чтобы уравновесить этот момент, необходимо на колесо воздействовать равным моментом внешних сил, но в обратном направлении:

Учтем, что плечо r от оси вращения до линии действия силы ,

а (рис. 3.23). Тогда

.

Рис. 3.22. К выводу уравнения Эйлера согласно теореме об изменении момента количества движения	Рис. 3.23. К определению момента количества движения

Проинтегрируем полученное выражение, при условии постоянства массового расхода газа между сечениями 1 и 2 ( ):

.

Теоретический напор

,

.

Таким образом, воспользовавшись теоремой об изменении количества движения, получили тоже выражение (3.26). Этот вывод можно сделать еще короче, если сразу воспользоваться теоремой об изменении момента количества движения. Согласно этой теореме: производная по времени момента количества движения относительно какой-то оси равна результирующему крутящему моменту относительно этой оси.

Воспользовавшись соотношениями между сторонами треугольника скоростей (рис. 3.21), можно получить другую запись уравнения Эйлера.

Из треугольника скоростей:

и ,

а т.к. и , то

,

,

.

Выразим отсюда закрутку С_u:

.

Подставим это выражение в уравнение (3.26)

.

Перегруппируем слагаемые

,

. (3.27)

Согласно уравнению (3.27) работа, подводимая к газу в колесе, идет на увеличение кинетической энергии в абсолютном движении (1-е слагаемое), повышение давления за счет центробежных сил (2-е слагаемое), повышение давления за счет торможения в относительном движении (3-е слагаемое).