3.5. Шахматная доска и пшеница Математическое понятие: геометрическая прогрессия

Существует история, согласно которой визирь при дворе короля Ширхама в Индии Сисса Бен Дахир изобрел игру в шахматы. Довольный изобретением Дахира король Ширхам предложил ему выбрать в качестве дара то, что он захочет. Сисса Бен Дахир попросил, казалось бы, безобидный дар: одно зерно пшеницы за первый квадрат шахматной доски, два за второй, четыре за третий и так далее, каждый последующий квадрат получал в два раза больше зерна, чем предыдущий. Мы можем представить этот процесс в виде суммирования: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ +… 2⁶³. (Мы остановились на 63, так как, хоть и на доске 64 квадрата, степень первой 2 равна 0, а не 1.) Такое суммирование, где число остается неизменным, а степень растет с каждым шагом прогрессии, называется геометрической прогрессией. И хоть и кажется, что сумма будет не такой уж большой, она на самом деле будет огромной. На деле это число будет равно числу шагов, которые необходимы, чтобы решить задачу Ханойской башни, то есть 18 446 744 073 709 551 615 (см. главу 3.4). Если предположить, что в тонне пшеницы примерно 100 миллионов зерен, Сисса Бен Дахир попросил примерно 200 миллиардов тонн пшеницы. Действительно ошеломительное количество.

Шахматы с острова Льюис

Самая впечатляющая коллекция шахмат в мире известна как шахматы с острова Льюис. Она состоит из 93 фигур XII века, которые были обнаружены в 1831 году на шотландском острове Льюис (Внешние Гебриды). Они изготовлены из моржовых костей и зубов китов, и кажется, что они имеют скандинавские корни: ладьи выполнены в форме солдат, кусающих свои щиты, как это делали берсерки.

3.6. Ханойская башня Математические понятия: рекурсия, геометрическая прогрессия

Иногда простые правила могут привести к удивительно большим числам. Представьте Ханойскую башню, игрушку, состоящую из трех стержней, установленных вертикально на устойчивой базе, и стопки деревянных колец – у каждого отверстие в центре, – нанизанной на один стержень. Каждый диск разного размера, и они сложены так, что самый маленький диск лежит сверху и, по мере возрастания, самый большой лежит снизу. Целью игры является переместить стопку дисков на другой стержень так, чтобы диски лежали в том же порядке, но вы можете передвигать только один диск за раз, и нельзя класть больший диск на меньший.

Шаги, необходимые для достижения цели, являются примером рекурсии. Передвижение первого диска требует одного хода, но каждый последующий диск требует в два раза больше ходов, чем предыдущий. Если дисков много, то количество ходов для решения головоломки непостижимо велико. Например, существует легенда о Ханойской башне. Согласно этой легенде, в Индии есть Ханойская башня с тремя алмазными иглами, и на одной из них находятся 64 золотых диска, каждый меньше чем тот, что под ним. Монахи Брахмы следят за дисками, и постоянно один из монахов переставляет диски на другую иглу, согласно тем простым правилам, которые были упомянуты ранее.

Как долго они будут выполнять эту задачу? Если каждый ход занимает 1 секунду, и монахи не делают перерывов, то перестановка стопки дисков займет 18 446 744 073 709 551 615 секунд, что равно 58 триллионам лет, это намного больше, чем текущий возраст Вселенной (которой примерно всего 13 триллионов лет). Огромные числа действительно могут содержаться в простых вещах.