Парадокс коробки Бертрана

Похожей проблемой является коробка Бертрана, названная в честь Джозефа Бертрана, который написал о ней в книге, вышедшей в 1889 году. Представьте три коробки: одна с двумя золотыми монетами; одна с двумя серебряными монетами; и одна с одной золотой и одной серебряной монетами. Теперь выберите одну любую коробку и любую монету. Если она золотая, то какова вероятность того, что вторая монета тоже будет золотой? Вы можете подумать, что шансы составляют 1 к 2, но на самом деле 2 к 3.

2.13. Математика в жонглировании Математическое понятие: комбинаторика

Когда вы думаете о жонглировании, вам, наверное, приходят на ум клоуны на днях рождения или цирк. Но вы, может быть, не знаете, что жонглирование стало темой для математических размышлений, одержимостью для людей, интересующихся головоломками и схемами. И как и математика, жонглирование обладает своей собственной нотацией.

Жонглерская нотация была создана независимо друг от друга жонглерами из Калифорнийского технологического института, Кембриджского университета и Калифорнийского университета в Санта-Круз в 1980-х. В жонглерской нотации каждому броску присваивается число. Нечетное число значит, что объект – скажем, мяч – подбрасывается одной рукой, а ловится другой, а четное число значит, что мяч остается в одной руке. Величина числа тоже очень важна: чем больше число, тем выше мяч подбрасывается в воздух. В броске с нотацией 3, например, мяч взлетит на уровне лица и в процессе перекинется на другую руку. В броске с нотацией 2 мяч взлетит на несколько сантиметров и будет пойман той же рукой. Страстные любители жонглирования могут делиться своими программами, записывая их с помощью жонглерской нотации, и могут использовать нотации других людей, чтобы попробовать новые конфигурации. Жонглеры также поняли, что нотация также отображает количество мячей, необходимых для той или иной программы. Количество мячей равно среднему числу всех чисел в нотации, таким образом, для программы 5551 вам понадобятся четыре мяча.

Жонглированием увлекался и Клод Шеннон, которого считают отцом теории информации. На самом деле Шеннон создал уравнение жонглирования: (F + D)H = (V + D) N (F – это время, которое мяч находится в воздухе, D – сколько мяч находится в руке, Н – количество рук, V – сколько рука остается пустой и N – количество жонглируемых мячей). А еще с помощью деталей конструктора Шеннон построил машину, в которой маленькие металлические мячи отскакивали от натянутой мембраны. В самом деле, клоуны и цирк!

Рекорды в жонглировании

Согласно Книге рекордов Гиннесса, рекорд по жонглированию наибольшим количеством мячей принадлежит Алексу Баррону из Великобритании. 3 апреля 2012 года восемнадцатилетнему молодому человеку удалось жонглировать одиннадцатью мячами и ловить их 23 раза подряд.

2.14. Равновесие Нэша Математическое понятие: теория игр

Математика не занимается лишь свойствами чисел. Некоторые области математики также пытаются изучить человеческое поведение, особенно то, как люди взаимодействуют друг с другом. Одной из таких областей является теория игр.

Теория игр была впервые представлена Джоном Форбсом Нэшем-младшим, математиком из Принстонского университета, который стал главным героем книги «Прекрасный ум. Жизнь математического гения и нобелевского лауреата Джона Нэша», по которой был снят фильм, вышедший в 2001 году с Расселом Кроу в главной роли. Игры, которые изучают теоретики игр, включают в себя не только шахматы и шашки. Они включают в себя разного рода взаимодействия между людьми, в которых решения, принимаемые одним человеком, зависят от решений, принимаемых другим человеком, включая деловые решения, войны и всякого рода экономические воздействия. Поэтому теория игр включает в себя не только чистые факты и правила, но и психическое состояние игроков, а также то, что каждый игрок думает об этих психических состояниях.

Один центральный элемент теории игр был назван в честь самого Нэша. Он называется равновесием Нэша, этот термин описывает игру, в которой каждый игрок не должен менять свою стратегию, даже если он знает стратегии всех остальных игроков. Другими словами, игра находится в равновесии Нэша, если никто не будет иметь преимуществ и не будет менять стратегии.

Вы, возможно, уже знакомы с примером равновесия Нэша: дилеммой заключенного. В этом случае два человека обвиняются в преступлении, и им грозит, предположим, три года тюрьмы. Но прокурор подозревает, что двое заключенных являются сообщниками, и предлагает каждому из них сделку. (Заключенные не могут никаким образом общаться друг с другом, поэтому они не знают, какое решение примет другой человек.) Если заключенный А признает, что заключенный Б – его сообщник, а заключенный Б не признает, то заключенный А получит один год тюрьмы – смягченный приговор, а заключенный Б получит пять лет тюрьмы. Верным будет и обратное: если заключенный Б признает, что заключенный А – его сообщник, а заключенный А не признает, то заключенный Б получит один год тюрьмы, а заключенный А получит пять лет тюрьмы. Если они оба сознаются, тогда оба получат по два года. Если посмотреть на общую картину, то кажется, что им обоим лучше во всем признаться. Но если каждый из них будет искать лучший выход, не зная, что решит другой, они оба решат ничего не говорить и получить по три года тюрьмы – первоначальный приговор, – хотя они и могли получить смягченный приговор, если бы признались во всем. Оказывается, случай, когда оба заключенных не признаются, соответствует равновесию Нэша, а остальное не соответствует.