4. Регулирование по производным

 

При регулировании по первой производной от ошибки осуществляется зависимость

u(t)= Kд d (t) / dt,

регулирующее воздействие (выходной сигнал регулятора) пропорционально скорости изменения ошибки. Это регулирование не имеет самостоятельного значения, т.к. в установившемся состоянии производная от ошибки равно нулю и регулирование пропадает. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к ее изменению (росту или уменьшению).

Логичным является формирование управляющего воздействия с учетом как самой ошибки, так и скорости ее изменения. Регулятор, реализующий такое управление носит название пропорционально- дифференциального или просто ПД- регулятора. Математически такой закон управления можно записать в виде

u(t)= K_п (t) + Kд d (t) / dt,

что позволяет представить структурно ПД-регулятор в виде параллельного соединения П- и Д- регуляторов с суммированием их управляющих воздействий.

В результате введение регулирование по производной от ошибки увеличивает скорость реакции системы регулирования, то есть повышает ее быстродействие, что приводит к снижению ошибок в динамике.

Часто передаточную функцию ПД-регулятора записывают в виде

W_пд(p)= K_п+ К_дp= K_п(T₁p+1)

Логарифмические амплитудно и фазочастные характеристики такого регулятора имеют вид

Рис.10.9.

 У идеального ПД-регулятора при воздействии единичной ступенчатой функции на его вход в момент времени t=0 на выходе появляется  - функция, имеющая известное аналитическое выражение

  при t=0

 (t)= 

 0 при t 0

Аналитическое переходная характеристики идеального ПД-регулятора рассчитывается по формуле

h(t)= K_п [ 1 +  (t) ] ,

а график ее представлен на рисунке 10.10.

Рис.10.10.

Формально ПД-регулятор может быть реализован на базе интегрального операционного усилителя по схеме рис.10.11

Рис.10.11.

 где K_п= - R₂/ R₁ и T₁=R₁C, сек.

Однако работа данной схемы сопровождается значительными высокочастотными помехами, для которых конденсатор C представляет собой сопротивление близкое к нулю. Для повышения устойчивости работы ПД-регулятора последовательно с конденсатором включается дополнительный резистор R3 с небольшим сопротивлением, которое ограничивает токи высокочастотных помех. Этот резистор на рисунке показан штриховой линией.

При наличии такого резистора передаточная функция регулятора приобретает вид

,

где T₁=(R₁+R₃)C, сек и T₂=R₃C, сек.

Таким образом регулятор приобретает инерционное звено первого порядка, что искажает амплитудно - и фазочастотную характеристику, как показано на рисунке 10.12.

Рис.10.12.

ЛАХ претерпевает излом на частоте  =1/ T₂ и фаза стремится к нулю при стремлении частоты к бесконечности. Естественно искажается и переходная характеристика регулятор- всплеск, соответствующий t=0, становится конечным и по амлитуде и по длительности. При стремлении R₃ к нулю ЛАХ стремятся к ЛАХ идеального ПД-регулятора, но практически никогда их не достигают. Проблема уменьшения влияния дополнительной инерционности возникает всегда при реализации ПД-закона регулирования на аналоговой элементной базе.

Детализированная структурная схема ПД-регулятора представлена на рис.10.13.

Рис.10.13.

 Математическую модель ПИ-регулятора составляют следующие уравнения

=  - y_и /Т₂;

U_у= y_и [ (К_п/Т₂)- (К_п Т₁/Т₂² )] + К_п Т₁/Т₂.

В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные более высоких порядков -вторая, третья и т.д. Это призвано улучшить динамические характеристики системы, однако техническая реализация введения производных выше второго порядка встречает значительные трудности.

Системы с ПД-регуляторами являются статическими и, следова-тельно, им свойственны с позиции статики все те же свойства и недостатки, что и для систем П-регуляторами. Устранение их достигается ведением регулирования по ПИД-закону.

 

 

5. ПИД-регулирование

 

Регулирующее воздействие, формируемое ПИД-регулятором пропорционально ошибке , скорости изменения ошибки и интегралу от ошибки, т.е.

u(t)= K_1 (t) + K₃ d (t) / dt+ K₂   (t)

Более распространенной в литературе является следующая форма записи ПИД-закона регулирования

u(t)= К_п [  + (1/T_и)   (t) dt+ T_д d (t) / dt],

причем величина T_д, характеризующая степень введения производной в закон регулирования, называется временем предварения. В динамическом отношении эти регуляторы подобны системе из трех параллельно включенных звеньев: пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего. При T_д=0 регулятор превращается в ПИ регулятор. Если, кроме того, T_и  , то получим П-регулятор.

Передаточная функция ПИД-регулятора может быть получена как

W_пид(p)= K_п + K_п/ T_и p + K_пT_д p =

Если на параметры K_п ,T_и и T_д наложить ограничение Т_и 10 Т_д,

то указанная передаточная функция может быть преобразована к виду

W_пид(p)= . (5.1)

Этой передаточной функции соответствуют ЛАХ и ЛФХ, приведенные на рисунке 10.14.

Рис.10.14.

Аналитическое выражение переходной функции регулятора содержит три слагаемых (по числу составляющих реакции), т.е.

h(t)= K_п [ 1 + T_д  (t) + t/T_и] ,

Этому выражению соответствуют временные зависимости, представленные на рис. 10.15.

Рис.10.15.

 отличающаяся от соответствующей зависимости для ПИ-регулятора наличием всплеска в момент времени t=0 бесконечно большой амплитуды (теоретически) с площадью, определяемой величиной T_д.

Одна из множества возможных реализаций ПИД-регулятора на базе интегрального операционного усилителя представлена схемой на рис. 10.16.

Рис.10.16.

Передаточную функцию реализованного таким образом регулятора получим следующим образом

Z₂(p)= R₂ +1/ C₂p=

Z₁(p)=

W(p)=

Следовательно: К_п= R₂/R₁; Т_и=R₂C₂, с ; Т_д=R₁C₁, с.

Для снижения уровня помех на выходе регулятора и повышения устойчивости его работы последовательно с конденсатором С1 может быть включен дополнительный резистор R₃ с небольшим сопротивлением, как это делалось в схеме с ПД-регулятором. Этот резистор точно таким же образом влияет на все динамические характеристики регулятора.

При наличии дополнительного резистора R₃ передаточная функция регулятора описывается выражением

W_пид(p)= ,

где T_v = R₃C₁; T_д= (R₃+R₁)C₁; T_и=R₂C₂; К_п=R2/R1.

С учетом инерционности, неизбежно появляющейся при реализации ПИД- регулятора, передаточную функцию последнего запишем в виде

W_R(p)=U_у(p)/ (p)= .

где Т_v- постоянная времени дополнительного инерционного звена или

W_R(p)=U_у(p)/ (p)=

Используя известный метод прямого программирования составим структурную схему системы в переменных состояния (рис.10.17)

Рис.10.17.

где y_p2 и y_{p1 -} выходные координаты (переменные состояния) интеграторов модели ПИД-регулятора.

Уравнения состояния ПИД-регулятора примут при этом вид

=

=  - (1/T_v)

u_у= (К_п/Т_v Т_и.)y_p1+ (К_п/Т_v ) + (К_пТ_д/Т_v ) .

или

=

=  - (1/T_v)

u_у = y_p1+ - + 

Оптимизация линейных контуров регулирования

Задача оптимизации и типовые настройки контуров

Обобщенная структурная схема линейного контура регулирования представлена на рис. 12.1.

Рис. 12.1.

Если данные и свойства объекта регулирования известны, то задача синтеза состоит в таком выборе регулятора и его параметров, при которых формируемое им управляющее водействие u(t) было бы в состоянии как можно быстро, точно и без возникновения колебаний заставить регулируемую величину X следовать за задающим воздействием X_зад и нейтрализовать возмущения F.

Идеальная система, следовательно, должна удовлетворять следующим двум условиям

W_{з у} (p)= X(p)/ X_зад(p)=1

W_{з в} (p)= X(p)/F(p)=0

Можно сказать, что модуль АФЧХ замкнутой системы в идеальном случае должен быть равен единице во всем диапазоне частот изменения управляющего воздействия (прямая 1 на рис.12.2)

Рис. 12.2.

При наличии инерционности в объекте регулирования указанные условия практически не реализуемы и можно говорить лишь о приближении в максимально возможном диапазоне частот модуля реальной АФЧХ к единице.

В большинстве же случаев ставится задача - ликвидировать влияние инерции объекта настолько полно, насколько это окажется возможным за счет выбора оптимального типа регулятора и его настроек. Такую задачу и называют оптимизацией.

При оптимизации стремятся приблизить АФЧХ замкнутого контура к единице в возможно более широкой полосе частот и при этом обеспечить устойчивость контура и хорошо демпфированный слабоколебательный переходный процесс с минимальным временем. Сама АФЧХ при этом принимает вид кривой “2” на рис. 12.2.

Такая пригонка обеспечивает высокую точность воспроизведения контуром регулирования управляющих и возмущающих воздействий в нижнем диапазоне частот и рост погрешностей с ростом частот этих воздействий. Чем шире диапазон частот, где АФЧХ замкнутой системы близка к единице, тем более высокие частоты может воспроизводить или парировать система.

Основные характеристики контуров,

настроенных на технический оптимум

Если объекты регулирования не содержат в своем составе интегрирующих звеньв, то при оптимизации стремятся получить передаточные функции замкнутых контуров регулирования в виде

(12.1)

Такой прием носит название настройки на “технический оптимум” или “Betragsoptimum” (нем.)

Передаточной функции (12.1) соответствует следующее выражение для модуля АФЧХ H( )

H( ) = mod Wз(j )= (12.2)

(Вывод его приведен в приложении 1)

Если потребовать, чтобы H( )= 1 при    , то для этого следует выполнить условия

a₀=b₀ ; a₁²= 2 a₀a₂ (12.3)

При этом выражение для АФЧХ оптимизированного контура примет вид

H( )= mod Wз(j )=

Условие 12.3 являются первым условием оптимизации, причем очень важным. Разумеется, добиться точного равенства единице модуля АФЧХ можно только при нулевой частоте. Однако при весьма низких частотах вполне достижимо хорошее приближение к единице.

Сам замкнутый контур, настроенный на технический оптимум имеет передаточную функцию

или с учетом условий оптимизации (12.3)

 

Вводя обозначение (a1/a0)=2T , получим передаточную функцию контура, настроенного на технический оптимум в окончательном виде

, (12.4)

Полином знаменателя (характеристическое уравнение) оптимизированного замкнутого контура имеет пару комплексно-сопряженных корней вида

,

где  = 1/2T_ и  _св=1/ 2T_

и следовательно, переходная характеристика оптимизированного контура определяется выражением

График переходной характеристики оптимизированного контура имеет при этом вид

Из рисунка видно, что

-время первого достижения функцией уровня нового устано-вившегося значения равно

t_р1= 4.7 T_ .

-время переходного процесса (время вхождения в область значений, отличающихся не более чем на 5% от установившегося значения равно

t_п= 6 T_ .

- а перерегулирование

 X_макс= 4.3

Эти характеристики типичны для любого контура, настроенного на технический оптимум и при изменении величины малой некомпенсированной постоянной времени T_ меняется лишь масштаб по оси времени.

 

Основные характеристики контуров, настроенных на симметричный оптимум

 

Если объекты регулирования имеют в своем составе интегрирующие звенья, то при настройке стремятся привести передаточную функцию оптимизированного контура к виду

(12.5)

 

Передаточной функции (7.5) соответствует выражение для АФЧХ следующего вида

H( )= mod Wз(j )= (12.6)

(Вывод его представлен в приложении 2.)

Для пригонки этого выражениея к единице при    необходимо выполнить условия (12.3), т.е.

a₀=b₀ ; a₁²= 2 a₀a₂

и кроме того

a₁=b₁ и a₂²= 2a₁a₃ (12.7)

 

При этом выражение для АФЧХ примет вид

H( )= mod Wз(j )= (12.8)

Используя условия оптимизации (12.3) и (12.7) приведем передаточную функцию (12.5) к виду

Вводя обозначение (a1/a0)=4T_, получим передаточную функцию контура, настроенного на симметричный оптимум в окончательном виде

(12.9)

Среди полюсов передаточной функции (корней полинома знаменателя) имеется один вещественный корень

p₁= - 1/2 T_

и пара комплексно-сопряженных корней

p2,3= -1/4 T  j( 3/4 T_ )

(Примеч: При нахождении корней целесообразно использовать разложение

1+8 T ³ p³= 1+(2 pT )³= (1+2pT )(1-2pT +4T ² p²)

 Находя переходную характеристику контура как

h(t)=L^-1{W(p)/p},

 

получим

h(t)=

 

Последнему выражению соответствует следующий график

Рис. 12.4.

Из графика видно, что

- время первого согласования для симметрично оптимизированного контура

t_р1= 3.1 T_ .

-время переходного процесса (время вхождения в область значений, отличающихся не более чем на 5% от установившегося значения равно

t_п= 12T_ .

- а перерегулирование

 X_макс= 43

 

 Приложение1.

Производя подстановку p=j в выражение (12.1), получим

Приложение 2.

Производя подстановку p=j в выражение (12.5), получим

Приемы и методы оптимизации

линейных контуров регулирования

Настройка на “технический оптимум”

Передаточной функцией вида

, (13.1)

соответствующей контуру, настроенному на технический оптимум, описывается система, имеющая в прямом канале звено с передаточной функцией

(13.2)

и охваченное единичной обратной связью с выхода на вход этого звена. ЛАЧХ эталонной разомкнутой системы имеет следующий вид

Рис. 13.1.

Если имеет место последовательная коррекция контура и регулятор с передаточной функцией W_R(p) включен последовательно с объектом, обладающим передаточной функцией W_об(p), то контур будет настроен на технический оптимум, если выполняется условие

W_рэ1(p)= W_R(p) W_об(p), (13.3)

Таким образом, оптимизация практически состоит в пригонке передаточной функции прямого канала оптимизируемой системы к эталонному виду путем выбора подходящего типа регулятора и его настроек. Поскольку такого рода оптимизация для объекта первого порядка теряет смысл, мы рассмотрим приемы оптимизации для статических объектов второго и более высоких порядков.

Примем, что передаточная функция объекта регулирования имеет вид

, (13.4)

где  - постоянное запаздывание, а T_ - постоянные времени элементов объекта, расположенные в порядке убывания по значению и рассмотрим несколько частных случаев.

 

1. Объект содержит ряд апериодических звеньев первого порядка постоянные времени объекта - соизмеримы и  _з=0.

В этом случае оптимизация контура проводится с использованием И-регулятора. Передаточная функция разомкнутого контура при этом записывется в виде

(13.5)

При оптимизации последовательное соединение из n инерционных звеньев заменяется одним апериодическим звеном с эквивалентной постоянной времени

,

так, что

. (13.6)

Основанием для замены последовательно-включенных инерционных звеньев первого порядка одним эквивалентным апериодическим звеном является сходство реакций разомкнутых систем, описываемых передаточными функциями (13.5 ) и (13.6 ) , на скачкообразное входное воздействие. Реакция системы с эквивалентным апериодическим звеном, обладающим постоянной времени T_ представлена кривой 1 на рис. 13.2 ,

Рис. 13.2.

Кривая 2 иллюстрирует реакцию системы из n последовательно включенных инерционных звеньев с суммой постоянных T_. Кривая 3 иллюстрирует установившееся движение системы. Она представляет собою линейно возрастающую функцию времени, со скоростью, определяемой параметрами И-регулятора и смещением относительно времени подачи воздействия на величину T_. С ростом числа n при неизменной суммарной постоянной времени T_ кривая реакции теснее прилегает к оси времени и при n  совпадает с этой осью, что характерно для системы с чистым запаздыванием ( = T_ ).

Из сказанного можно сделать следующие выводы

- последовательное соединение большого числа инерционных звеньев без большого ущерба для точности можно заменить одним инерционным звеном, постоянная времени которого T_ равна сумме постоянных времени инерционных звеньев. При этом надо, чтобы в контуре имелось хотя бы одно интегрирующее звено или хотя бы одно инерционное звено с постоянной времени во много раз большей, чем сумма малых постоянных времени,

Выбор параметров регулятора осуществляется из условия

=

Следовательно,

2 T_ = Т_и/К_об  Т_и =2 T_ К_об

Время переходного процесса в оптимизированной контуре составляет величину 6 T_.

2. Объект содержит ряд апериодических звеньев первого порядка постоянные времени объекта - соизмеримы и  _з 0.

В этом случае оптимизация контура осуществляется также с помощью И-регулятора, причем

+ .

Следует иметь ввиду, что апериодическое звено с эквивалентной постоянной времени T_, является фиктивным и его инерционность не может скомпенсирована обычным образом с помощью одного ПД- или ПИ- регулятора. Поэтому постоянную времени T_ часто называют некомпенсированной постоянной времени.

3. Если объект с передаточной функцией общего вида содержит одно инерционное звено с большой постоянной времени Т₁, такой что

Т_1 + .

то при оптимизации следует принять меры для компенсации этой большой постоянной с помощью ПИ-регулятора. Заменив звенья с малыми инерционностями и чистым запаздыванием одним эквивалентным апериодическим звеном с постоянной времени

T_ = + .

Тогда

Выбирая Т_и=Т₁, получим

Условием оптимальной настройки, кроме Т_и=Т₁ будет

2T_ = Т₁/ К_об К_п  К_п =Т₁ / 2К_обT_

Таким образом время переходного процесса в контуре, настроенном на “технический оптимум” полностью определяется величиной малой некомпенсированной постоянной времени T_

t_п=6 T_

и повышение быстродействия достигается мерами по уменьшению этой постоянной.

в) Если в цепочке инерционных звеньев, из которых состоит объект находятся не одна, а две большие инерционности, т.е.

Т₁> T₂ > + .

то для оптимизации контура следует использовать ПИД-регулятор. Заменив цепочку звеньев с малой инерционностью одним апериодическим звеном первого порядка с постоянной времени

T_ = + .

запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

 

где Т_и и Т_д - соответственно время изодрома и время предварения ПИД-регулятора.

Выбирая Т_и=Т₁ и Т_д=Т₂ , получим

Условием оптимальной настройки, кроме Т_и=Т₁ и Т_д=Т₂ будет

2T_ = Т₁/ К_об К_п  К_п =Т₁ / 2К_обT_

Следует заметить, что большую из двух постоянных необходимо всегда компенсировать временем изодрома, а меньшую - временем предварения. Это связано со спецификой реализации ПИД-регулятора и взаимозависимостью параметров его настроек.

Исключение из передаточной функции разомкнутого контура звеньев с большими и средними постоянными времени открывает возможности повышения быстродействия контура регулирования. Эта операция реальные физические инерционные звенья из контура разумеется не исключает. Однако их действие, замедляющее протекание переходных процессов, компенсируется действием соответствующих форсирующих звеньев, содержащихся в регуляторе, ускоряющих в требуемой степени реакцию системы.

Пытаться компенсировать весьма малые постоянные времени нецелесообразно, так как технические трудности компенсации быстро возрастают при уменьшении значений постоянных времени, а влияние на быстродействие системы соответственно убывает. Особые трудности представляет компенсация дискретности и малого запаздывания ряда быстродействующих электрических преобразователей.

Пример: Статический объект содержит четыре последовательно соединенных апериодических звена с постоянными времени Т₁= 400 мс, Т₂= 80 мс, Т₃= 15 мс, Т₄= 5 мс. Определить расчетное время переходного процесса в контурах, оптимизированных с помощь. И- ПИ- и ПИД- регуляторов.

Тип регулятора	Т , мс	tп, мс
И	500	3000
ПИ	100	600
ПИД	20	120

 

Настройка на “симметричный оптимум”

Передаточной функции

(13.7)

соответствующей контуру, настроенному на симметричный оптимум, описывается система, имеющая в прямом канале звено с передаточной функцией

(13.8)

и охваченное единичной обратной связью с выхода на вход этого звена. ЛАЧХ эталонной разомкнутой системы имеет следующий вид

Рис. 13.3.

Как видно, изломы частотной характеристики расположены симметрично относительно частоты среза, откуда и пошло название “симметричный оптимум”.

И в этом случае оптимизация практически состоит в пригонке передаточной функции прямого канала оптимизируемой системы к эталонному виду (13.8) путем выбора подходящего типа регулятора и его настроек. Основные приемы оптимизации - те же, что и в рассмотренных ранее случаях .

а). Если объект содержит одно интегирующее и одно инерционное звено первого порядка, т.е.

,

то для оптимизации контура используется ПИ-регулятор.

Если время изодрома регулятора выбрать из условия компен-сации постоянной времени объекта (Т_и=Т_об) , то передаточная функция разомкнутого контура примет вид

и замкнутая единичной обратной связью система будет находиться на границе устойчивости при любом значении коэффициента передачи К_п (настроечного параметра) . Следовательно, в данном случае компен-сировать постоянную времени объекта нельзя и последнюю следует принять в качестве некомпенсируемой постоянной T_ (T_ =T_об). Для пригонки передаточной функции разомкнутой системы к эталонной (13.8) остается выполнить условия

4T_ =T_и и T_ / К_об К_п = 8T_ ²  К_п=1/ 8 T_об К_об (13.9)

Нетрудно установить, что время переходного процесса в замкнутом контуре составляет величину t_п=12 T_об .

б) Если объект содержит интегрирующее звено и ряд инерционных звеньев с соизмеримыми постоянными времени Т , то как и ранее последние следует заменить одним эквивалентным апериодическим звеном с эквивалентной постоянной времени

,

в) Если объект с передаточной функцией общего вида содержит одно инерционное звено с большой постоянной времени Т₁, такой что

Т_1

то при оптимизации следует принять меры для компенсации этой большой постоянной с помощью ПИД-регулятора. Заменим звенья с малыми инерционностями и чистым запаздыванием одним эквивалентным апериодическим звеном с постоянной времени

T = + .

Тогда

Выбирая Т_д=Т₁, получим

Условием оптимальной настройки, кроме Т_д=Т₁ будут условия

4T_ =T_и и T_ / К_об К_п = 8T_ ²  К_п=1/ 8 T_ К_об

Таким образом время переходного процесса в контуре, настроенном на “симметричный оптимум” полностью определяется величиной малой некомпенсированной постоянной времени T_

t_п=12 T_

и повышение быстродействия достигается мерами по уменьшению этой постоянной.

Реакция оптимизированных контуров на возмущающие воздействия

Реакции контуров, оптимизированных по одному критерию, на возмущающие воздействия, приложенные к различным точкам объекта в общем случае отличаются от реакций этих контуров на управляющие воздействия. Это можно легко показать на примере системы, структурная схема которой приведена на рис. 14.1

Рис. 14.1.

После преобразования эта структурная схема приводится к следующей

Рис. 14.2.

Передаточная функция контура по возмущению определяется выражением

W_в(p)= X(p)/ F(p)= Wзэ(p) /[W_R(p) W₁(p] (14.1)

 

Как видно и время и характер реакции контура на возмущение зависит в общем случае как от параметров оптимизированного контура, так и от параметров объекта и регулятора. Рассмотрим несколько частных случаев.

1.Часто встречающий в практике проектирования систем управления ЭМС случай, когда входная часть объекта содержит апериодическое звено с передаточной функцией W₁(p) и принципиально некомпенсируемой постоянной времени T_ , а выходная часть представляет собой интегрирующее звено с передаточной функцией W₂(p) , на входе которого действует возмущающее воздействие f(t).

а) настроим контур на технический оптимум с использованием П-регулятора. Структурная схема разомкнутого контура имеет вид

Для настройки системы на технический оптимум необходимо выполнить условие К_п=1/ 2K₁ K₂T_ .

Тогда в соответствии с 14.1 передаточная функция системы по возмущению примет вид

, (14.2)

Анализируя полученное выражение , легко установить, что

- наличие возмущения приводит к появлению статической ошибки в контуре несмотря на наличие интегрирующего звена в канале f  X,

- величина динамической ошибки в процессе отработки возмущения зависит от соотношения коэффициента K₂ и величины некомпенсированной малой постоянной времени T_ ,

- время переходного процесса соответствует эталонному процессу и равно 6 T_ .

б) настроим контур на симметричный оптимум с использованием ПИ-регулятора. Структурная схема контура имеет вид

Рис. 14.4.

Для настройки системы на симметричный оптимум необходимо выполнить условия К_п=1/ 2K₁ K₂T_ и Т_и=4 T_

При этих условиях передаточная функция системы по возмущению примет вид

 

, (14.3)

Анализируя полученное выражение , легко установить, что

- возмущение не приводит к появлению статической ошибки в контуре из-за наличия идеального дифференцирующего звена в числителе передаточной функции по возмущению ,

- величина динамической ошибки в процессе отработки возмущения зависит от соотношения коэффициента K₂ и величины некомпенсированной малой постоянной времени T_ ,

- время переходного процесса определяется только малой некомпенсированной постоянной времени контура и не зависит от параметров объекта.

2. Рассмотрим случай, когда входная часть объекта содержит апериодическое звено с принципиально некомпенсируемой постоянной времени T_, а выходная часть представляет собой апериодическое звено с постоянной времени Т₂, на входе которого действует возмущающее воздействие f(t).

Структурная схема контура имеет вид

Рис.14.5.

 

Настроим контур на технический оптимум с использованием ПИ-регулятора. Для настройки системы на технический оптимум необходимо скомпенсировать инерционность второй части объекта, для чего выбираем Т_и= Т₂ . Тогда

Условием оптимальной настройки, кроме Т_и=Т₂ будет

2T_ = Т₂/ К₁ К₂К_п  К_п =Т₂ / 2T_ К₁К₂

Тогда

1/ (W_R(p) W₁(p)) =

и следовательно,

,

Анализируя полученное выражение , легко установить, что

- наличие возмущения не приводит к появлению статической ошибки в контуре из-за наличия интегрирующего звена в прямом канале до места приложения возмущения (за исключением случая T₂ / T_   ),

- величина динамической ошибки в процессе отработки возмущения зависит от соотношения коэффициента K_2, величины некомпенсированной малой постоянной времени T_ и постоянной времени T₂

- характер и время переходного процесса зависят от соотношения постоянных времени T₂ / T_ .

Сглаживание задающего сигнала

Для переходной функции контура регулирования, настроенного на симметричный оптимум, характерен весьма заметный положительный выброс (перерегулирование), который может достигать 43,5%. Столь резкие колебания регулируемой величины в переходном процессе для электромеханических систем бывают допустимы только в редких случаях даже при резких изменениях или скачках задающей величины.

Числитель передаточной функции замкнутого оптимизированного контура

(14.4)

характеризует некоторое упреждение, сходное с упреждением, например, ПД-регулятора. Это упреждением может быть скомпенсировано с помощью искусственно созданной инерционности -так называемого сглаживающего элемента. Этот элемент устанавливается на входе замкнутого контура, настроенного на “симметричный оптимум” в соответствии со структурной схемой (рис. 14.6 )и имеет передаточную функцию

, (14.5)

 

Рис.14.6.

При этом передаточная функция замкнутого оптимизированного контура вместе со сглаживающим звеном примет вид

(14.6)

 

Среди полюсов передаточной функции (корней полинома знаменателя) имеется один вещественный корень

p₁= - 1/2 T_

и пара комплексно-сопряженных корней

p_2,3= -1/4 T_  j( 3/4 T_ )

(Примеч: При нахождении корней целесообразно использовать разложение

1+8 T_ ³ p³= 1+(2 pT_ )³= (1+2pT_ )(1-2pT_ +4T_ ² p²)

Находя переходную характеристику контура как

h(t)=L^-1{W_з2с(p)/p},

получим

h(t)= (14.7)

Последнему выражению соответствует кривая 1 на рис.14.7. Кривая 2 на том же рисунке представляет переходную характеристику контура, настроенного на симметричный оптимум без сглаживающего фильтра на входе.

Рис.14.7.

Из графика видно, что время первого согласования для симметрично оптимизированного контура со сглаживающим звеном t_р1= 7.6 T_ .

-время переходного процесса (время вхождения в область значений, отличающихся не более чем на 5% от установившегося значения равно

t_п= 12T_ .

- перерегулирование

 X_макс= 8.1 

Если требуется до конца подавить перерегулирование, то постоянную времени сглаживающего звена выбирают равной 6T_{ .} Быстродействие контура при этом естественно снижается.

Упрощенное описание оптимизированных контуров регулирования

В целом ряде случаев оптимизированный контур входит в состав сложной системы регулирования. Для того, чтобы по возможности упростить вид общей передаточной функции системы бывает целесо-образно подобрать для приближенного описания оптимизированного контура функцию первого порядка .

Передаточная функция контура, настроенного на технический оптимум имеет вид

, (14.8)

а переходная характеристика иллюстрируется кривой 1 на рис. 14.8.

Рис.14.8.

Сравним эту передаточную функцию и соответствующую ей переходную характеристику с соответствующими характеристиками апериодического звена вида

(14.9)

Переходная характеристика этого звена представлена кривой 2 на том же рисунке. Она представляет собой экспоненциальную огибающую эталонного слабоколебательного процесса и описывается выражением

(14.10)

Отклонение кривой 1 от экспоненциальной огибающей 2 не очень велико. Время переходного процесса одинаково и равно t_п= 6T_ . Кроме того, положительная и отрицательная площади кривых “отклонение - время” равны друг другу. Поэтому не впадая в большую ошибку можно считать апериодическое звено с передаточной функцией (14.9) эквивалентом оптимизированного контура по условиям технического оптимума контура.

Рассуждая аналогично, можно контур, настроенный на симмет-ричный оптимум со сглаживающим звеном на входе и описываемый передаточной функцией

без большого ущерба для точности заменить эквивалентным аперио-дическим звеном первого порядка с постоянной времени 4T_ , т.е.

(14.11)

Оптимизация каскадных систем управления

Системы подчиненного регулирования (каскадные системы управления)

В настоящее время при создании систем управления ЭМС широко применяется принцип последовательной коррекции или принцип подчиненного регулирования. Этот принцип состоит в следующем.

Объект регулирования представляется в виде последовательно соединенных звеньев W_об1(p), W_об2 (p), W_об3(p) и т.д. с промежуточными координатами x₁, x₂, x₃, ... и регулируемой (выходной) координатой X (см. структурную схему на рис.15.1. В качестве указанных координат используются существенные координаты, такие, например, как ток, напряжение, ЭДС, магнитный поток, момент, скорость, положение.

Для управления каждой координатой организуется отдельный контур со своей обратной связью и своим регулятором. На рис. 15.1 датчики координат представлены звеньями с коэффициентами передачи Kx₁, Kx₂ и Kx_, а передаточные функции регуляторов обозначены через W_R1, W_R2, W_R3.

Рис. 15.1.

Замкнутые контуры регулирования образуют систему, в которой имеется внутренний контур управления, состоящий из регулятора W_R1 первого звена объекта W_об1 и цепи обратной связи по координате X₁, первый внешний контур, включающий в себя внутренний контур , второе звено объекта W_об2, регулятор W_R2 и цепь обратной связи по координате X₂ и второй внешний контур, включающий в себя первый внешний контур, третье звено объекта управления W_{об3 ,} регулятор W_R3 и обратную связь по координате X₃, для рассматриваемого случая являющейся регулируемой, т.е. X₃=X.

Выходной сигнал регулятора каждого внешнего контура является задающим для последующего, заключенного внутри него контура. Таким образом, каждый внутренний контур регулирования подчинен соответствующему внешнему.

Каскадные системы управления характеризуются лучшим качеством управления по сравнению с одноконтурными системами по следующим причинам:

- возмущения, F₁(p), F₂(p), поступающие на части объекта, расположенные ближе к входу, прежде чем воздействовать на выходную координату X (регулируемую переменную) предварительно парируются во внутренних контурах управления;

- наличие внутренних контуров уменьшает влияние изменения параметров входной части на динамические качества системы регулирования ( снижается чувствительность системы к изменению параметров объекта);

- поведение регулируемой переменной X становится более быстрым (менее инертным), если внутренний контур обеспечивает более быстрые собственные движения по сравнению с исходными.

Практическое преимущество разделения системы на контура с основными и вспомогательными регуляторами состоит в том, что настройку их параметров можно осуществлять независимо и последовательно. Она осуществляется следующим образом:

1.Настройка первого внутреннего контура осуществляется на оптимум по модулю .

2. При переходе к внешнему контуру передаточную функцию замкнутого внутреннего контура упрощают, аппроксимируя его апериодическим звеном первого порядка

 

Новую некомпенсированную постоянную выбирают с учетом быстродействия внутреннего контура и датчиков обратной связи. Если постоянные времени последних действительно малы, то их практически можно не выделять из других постоянных времени.

Если во внешнем контуре есть свои малые постоянные, то эквивалентная постоянная времени замкнутого внутреннего контура 2Т_1 входит в состав суммарной малой постоянной времени Т_2.

Если во внешнем контуре нет своих малых постоянных времени, то для него некомпенсируемая постоянная времени Т_2 выбирается равной 2Т_1.

3. Заменяя первый внешний контур эквивалентным апериодическим звеном, аналогичным образом осуществляем оптимизацию второго внешнего контура и т.д.

Легко установить, что быстродействие каждого внешнего контура не менее чем в 2 раза ниже быстродействия подчиненного ему внутреннего контура.

К преимуществам системы подчиненного регулирования можно отнести

- простоту наладки и настройки (Каждый контур включает в себя регулятор, за счет придания которому определенных динамических свойств получаются стандартные характеристики. Настройку в процессе наладки ведут начиная с внутреннего контура. Поскольку регулятор имеет простую передаточную функцию, а качество настройки может быть легко оценено по результатам сравнения реакции контура на скачок управляющего воздействия со стандартной переходной характеристикой, наладка системы оказывается очень простой.)

- удобство ограничения предельных значений промежуточных координат системы ( поскольку выходной сигнал регулятора внешнего контура является заданным значением для внутреннего контура достигается за счет ограничений определенным значением выходного сигнала регулятора внешнего контура)

Недостаток - некоторый проигрыш по быстродействию, связанный с последовательным воздействием на объект через внутренние контура, а не сразу через входное звено объекта.

В большинстве случаев конкретного применения в ЭМС, указанный недостаток несуществен, а перечисленные выше преимущества имеют решающее значение .

ПРИМЕР: Построить систему подчиненного регулирования выходной координаты объекта со структурной схемой, представленной на рис.15.2

Рис. 15.2.

Сначала построим внутренний (подчиненный контур регулирования координаты X₁ по структурной схеме рис.15.3

Рис.15.3

Настроим контур на технический оптимум. Для этого используем ПИ-регулятор. Покольку Т₁  T_пр и кроме того инерционность преобразователя по условию компенсировать нельзя и не имеет смысла, то примем постоянную времени преобразователя в качестве малой некомпенсированной постоянной (Т_пр=Т_1) и выберем время изодрома регулятора из условия компенсации постоянной времени Т₁. Примем кроме того значение коэффициента передачи датчика координаты X₁ равным K_{x1 .}Тогда передаточная функция разомкнутого внутреннего контура примет вид

Оптимизируя контур, найдем

2T_1 = Т₁/ К₁ К_п Кx₁  К_п =Т₁ / 2К₁T_1 Кx₁

Передаточная функция замкнутого внутреннего контура примет вид

,

или после упрощения

.

Заменив оптимизированный замкнутый внутренний контур апериодическим звеном, оптимизируем внешний контур, построенный по структурной схеме (рис. 15.4)

Рис.15.4

Для оптимизации внешнего контура применим ПИ-регулятор и выберем его настройки из условия обеспечения технического оптимума. Примем в качестве малой некомпенсированной постоянной - постоянную времени эквивалентного замкнутого внутреннего контура - T_2 =2T_1 и выбрав время изодрома регулятора внешнего контура из условия компенсации инерционности второго апериодического звена ,т.е. Т_и= Т₂. Тогда

Оптимизируя контур, найдем

2T_2 = Т₂/ К₂ Кx К_п /Кx_{1 } К_п =Т₂ Кx₁ / 2К₂T_1 Кx

Передаточная фунция системы в окончательном виде

.

Эмпирический метод настройки Циглера-Никольса

В практике настройки замкнутых систем управления нередко встречается задача обеспечения приемлимых динамических качеств замкнутой системы с помощью регуляторов, обеспечивающих типовые линейные алгоритмы управления (П-, ПИ- или ПИД-) устойчивыми объектами, параметры которых точно измерить не удается. В этом случае результат можно получить, используя метод замкнутого контура Зиглера-Никольса. Метод состоит в следующем:

а) к выходу регулятора или объекта подключается самопишущий потенциометр, а интегральное и дифференциальное воздействия регулятора - блокируются (исключаются).

б) затем коэффициент пропорциональности регулятора К_п постепенно увеличивают, пока при некотором значении этого коэффициента К_{п пред} в системе не установятся устойчивые колебания с периодом Т _пред. ( см. рис. 15.5)

Рис.15.5

в) далее рассчитываются и устанавливаются параметры регулятора на основе следующих соотношений

Для П- регулятора К_п= 0.5 К_{п пред}

Для ПИ- регулятора К_п= 0.45 К_{п пред}, Т_и= Т _пред/1.2

Для ПИД- регулятора К_п= 0.6 К_{п пред}, Т_и= Т _пред/2, Т_д= Т _пред/8

РЕГУЛИРОВАНИЕ КООРДИНАТ ЭМС

При управлении технологическим процессом установки необходимо управлять потоком электрической энергии, потребляемой или вырабатываемой ЭМП таким образом, чтобы механические переменные - момент двигателя, скорость и ускорение механизма или положение его рабочего органа - либо поддерживались на требуемом уровне, либо изменялись по заданным законам с требуемой точностью.

Для создания систем управления, отвечающих всему комплексу предъявляемых требований , необходимо знать возможности управления ЭМС в отношении регулирования главных координат и оценивать влияние регулирования каждой из них в отдельности на физические свойства ЭМС. Изложение этих вопросов и входит в содержание данного раздела.

РЕГУЛИРОВАНИЕ МОМЕНТА В СИСТЕМЕ “УПП-ЭМП”

Необходимость регулирования момента диктуется предъявляемыми к ЭМС требованиями.

-для нормального функционирования ЭМС необходимо при ее работе ограничивать момент и ток двигателя допустимыми значениями в переходных процессах пуска, торможения и приложения нагрузки.

- для механизмов, испытывающих при работе значительные перегрузки вплоть до стопорений рабочего органа, возникает необхо-димость непрерывного регулирования момента в целях ограничения динамических ударных нагрузок механического оборудования.

- во многих случаях требуется точное дозирование усилий на рабочем органе.

Проблемы регулирования момента

Рассмотрим обобщенную разомкнутую электромеханическую систему с известной структурной схемой (рис.16.1)

Рис.16.1

Структура описывается уравнениями

T_пр d ₀/dt= K_пр u_у -  ₀ (16.1)

T_э dM/dt =  ( ₀- ₁) - M, (16.2)

J d ₁/dt= M- M_c (16.3)

В установившемся режиме, когда все производные равны нулю, запишем систему так

0= K_пр u_у -  ₀

0=  ( ₀- ₁) - M,

0= M- M_c

Исключая последовательно переменные, получим уравнение семейства механических характеристик в виде

М= K_пр u_{у } -   ₁ (16.4)

или

М= М_к - _м ( ₁) (16.5)

где М_к= K_пр u_у  - момент короткого замыкания, пропорциональный сигналу управления и  _м(₁₎- отклоненение момента от М_к, обусловленное скоростью вращения (наличием электромеханической связи). Семейство механических характеристик представлено на рис.16.2

Рис.16.2

С ростом сигнала управления u_у возрастает момент короткого замыкания и механическая характеристика смещается вправо по оси моментов параллельно самой себе (М_к1 < М_к2 < М_к3 ). Рост скорости приводит к отклонению момента от заданного значения М_к тем в большей степени, чем выше значение модуля жесткости механической характеристики  . Результирующий момент падает с ростом скорости в двигательном режиме работы ЭМП и растет- в режиме электромагнитного тормоза (если таковой обеспечивается схемой электрического преобразователя). Иными словами, при регулировании момента электромеханическая связь оказывается сильным возмущением и с точки зрения регулирования момента необходимо искать методы, позволяющие уменьшать модуль статической жесткости  .

Однако, бесконечно большое увеличение сигнала управления не приводит к такому же возрастанию момента М_к, который мы будем принимать условно за заданное значение момента в системе регулирования момента. Причиной является ограничение выходного сигнала электрического преобразователя на уровне _{0 гр}, поскольку подавляющее большинство преобразователей можно считать звеньями с явно выраженным насыщением. Последние имеют статическую характеристику следующего вида (рис.16.3)

Рис.16.3

Следовательно, максимальное значение момента короткого замыкания ограничено на уровне М_{к гр} =   _{0 гр} . Этому значению пускового момента соответствует механическая характеристика

М= М_{к гр} -  ₁ , (16.6)

которую мы будем называть предельной механической характеристикой. На рис. 16.2 она выделена жирной линией.

Таким образом идеальной системой с позиции регулирования электромагнитного момента следовало бы считать систему, у которой

а) механическая характеристика была бы параллельна оси скоростей (см. кривую 1 на рис.16.2 ), что означает, что электромагнитный момент не зависит от скорости вращения ,

б) статическая регулировочная характеристика М_к(u_у) была бы линейной в диапазоне 0<М_к < М_{к гр}

в) реакция системы на скачки управляющего u_у и возмущающего ₁ воздействий должна быть по возможности мгновенной (динамические качества системы должны быть высокими)

В системе с управлением ЭМП от электрического преобразователя указанная цель достигается введением отрицательной обратной связи по моменту на вход управляемого преобразователя в соответствии со структурной схемой (рис.16.4)

Рис.16.4

 

Механические характеристики системы “УПП-ЭМП” с отрицательной обратной связью по моменту и П-регулятором

Запишем управляющее воздействие на входе электрического пре-образователя в виде разности

u_у= K_п(u_зад - К_м М), (16.7)

где u_{зад -} сигнал, пропорциональный заданному значение момента, К_м – коэффициент передачи датчика момента, K_п – коэффициент передачи П-регулятора. Тогда, исходную систему уравнений состояния можно переписать в виде

T_пр d₀/dt= - ₀ -K_пр K_п К_м М+ K_пр K_п М_зад (16.8)

T_э dM/dt =  ₀- M-  ₁, (16.9)

J d₁/dt= M- M_c (16.10)

Для установившегося режима уравнения принимают вид

0= - ₀ -K_пр K_п К_м М+ K_пр K_п u_зад (16.11)

0 =  ₀- M-  ₁, (16.12)

0= M- M_c (16.13)

Находя из (16.11) ₀ и подставляя его в (16.12), находим выражение, определяющее искомую механическую характеристику рассматриваемой системы :

(16.14)

После введения понятий петлевого коэффициента усиления

К₀= K_пр K_пК_м

и заданного значения момента М_зад= u_зад/К_м уравнение механических характеристик примет вид

(16.15)

Приводя как и ранее данное уравнение к виду

М= М_к-  _м( ₁)_,

получим, что

- момент короткого замыкания М_к пропорционален сигналу задания и его значение приближается к заданному значению момента М_зад с ростом петлевого коэффициента усиления К₀ ;

- отклонение момента под воздействием скорости _м(₁)_, также падает с ростом коэффициента передачи К₀ в одинаковом диапазоне изменения скорости, т.е. падает эквивалентная жесткость механических характеристик. Вводя обозначение

получим  _м(₁) = _э_1, где _э - эквивалентная жесткость механических характеристик замкнутой по моменту системы. Как видно, с ростом петлевого усиления К₀ жесткость механических характеристик системы падает и при К₀   _т .

Семейство механических характеристик системы с отрицательной обратной связью по току, соответствующее одному заданному значению момента М_зад и трем различным значениям петлевого коэффициента усиления К₀₁ <К₀₂ <К₀₃ приведено на рис. 16.5.

Рис.16.5

УНИФИЦИРОВАННЫЙ КОНТУР РЕГУЛИРОВАНИЯ МОМЕНТА

Беспредельное увеличение петлевого усиления в системе с отрицательной обратной связью по моменту, рассмотренной выше, с целью снижения жесткости механических характеристик, неизбежно приведет к возрастанию колебательности переходного процесса и в конце концов к потере устойчивости системы, что потребует, естественно, принятия мер по динамической коррекции системы. Эта проблема легко решается введением ПИ-регулятора в прямой канал контура и настройкой его на технический оптимум. Таким образом и строятся унифицированные контура регулирования момента.

Структурная схема и математическая модель контура

Рис.17.1

Математическую модель контура образуют уже известные уравнения обобщенной энергетической подсистемы ЭПС

T_пр d₀/dt= K_пр u_у - ₀

T_э dM/dt =  (₀-₁) - M,

J d ₁/dt= M- M_c

уравнение замыкания  = u_зад - К_м М

и уравнения ПИ-регулятора момента. Последние получим, используя детализированную структурную схему регулятора (рис.17.2)

Рис.17.2

где  - ошибка системы и y_и -выходной сигнал интегратора регулятора. Систему уравнений регулятора запишем в виде

dy_и/dt=  ; u_у = К_п  +(К_п /T_и) y_и.

 

Статические характеристики контура

Анализируя уравнения регулятора, легко установить, что в устано-вившемся режиме при постоянных задающем и возмущающем воз-действиях статическая ошибка принципиально равна нулю независимо от параметров звеньев системы и от величины внешнего возмущения ₁, т.е.

М=М_зад =U_зад/К_м

Графики статических регулировочных и механических характеристик контура изображены соответственно на рис. 17.3 и 17.4

Рис.17.3

Рис.17.4

Заметим, что в данной системе с ПИ-регулятором нулевая жесткость механических характеристик и статическая ошибка обеспечена структурно и независимо от конкретных параметров электрического преобразователя, двигателя и регулятора. Варьируя последними можно изменять быстродействие и качество переходных процессов, также как и динамические ошибки по управлению и возмущению, не влияя на характеристики установившегося режима.

 

Опитимизация контура регулирования момента

Как было показано выше, при регулировании момента электро-механическая связь является возмущающим воздействием, снижающим точность регулирования. Поскольку в системе с отрицательной обратной связью по моменту влияние этой связи в значительной степени ослаблено, разомкнем эту связь при синтезе контура регулирования, пренебрегая ее влиянием на динамику контура в процессах по управлению. Влияние этой связи на динамическую точность регулирования в дальнейшем будем оценивать, считая изменения скорости независимым возмущающим водействием {f(t)= ₁}. Структурная схема контура примет при этом вид рис.17.5

Рис.17.5

Настроим контур на технический оптимум, используя ПИ-регулятор. Поcкольку обычно Т_эТ_пр и, кроме того, инерционность преобразователя по условию компенсировать нельзя и не имеет смысла, то примем постоянную времени преобразователя в качестве малой некомпенсированной постоянной (Т_пр=Т_1) и выберем время изодрома регулятора из условия компенсации постоянной времени Т_э, т.е. Т_и=Т_э Тогда передаточная функция разомкнутого внутреннего контура примет вид

Оптимизируя контур, найдем

2T_пр = Т_э/ К_пр К_п К_м _ К_п =Т_э / 2К_пр T_пр К_м

Передаточная функция замкнутого контура регулирования момента примет вид

или

Характер переходного процесса соответствует стандартному, а время процесса составляет величину  6 Т_пр.

 

 

 

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНТУРА

 

Реакция контура на скачок задающего воздействия при заторможенном роторе ЭМП соответствует расчетной. Изменение скорости ЭМП (возмущающего воздействия для контура тока) из-за наличия электромеханической связи вызывают отличие реального переходного процесса от расчетного. Выражение, определяющее переходный процесс по управлению в контуре тока при наличии электро-механической связи в ЭМП получается достаточно громоздким, а вывод его - трудоемок. Поэтому мы оценим здесь влияние электромеханической связи на переходный процесс приближенно

Влияние динамического возмущения на переходный процесс по управлению можно оценить, зная передаточную функцию оптимизированного контура по возмущению.

W_в(p)= M(p)/₁(p)= W_зэ(p)/W_R(p)W_пр(p)=

С учетом того, что К_п =Т_э / 2К_пр T_пр К_м , последнее выражение приведем к виду

W_в(p)=

или после замены оптимизированного контура эквивалентным апериодическим звеном

W_в(p)=

Реакция оптимизированного контура на скачкообразное возмущение не представляет интереса, поскольку возмущением является скорость ₁, а последняя принципиально скачком изменяться не может. Характерными для контура являются возмущения по характеру гармонические (особенно при наличии упругих связей в механической подсистеме) или изменяющиеся во времени по закону, близкому к линейному.

Реакцию контура на возмущения синусоидального характера можно оценить по частотной характеристике. ЛАЧХ, соответствующей полученной передаточной функции W_в(p). При Т_э>>2Т_пр (что выполняется практически всегда) ЛАЧХ имеет вид, представленный на рис.17.6.

Рис.17.6

Как видно, наибольшим коэффициентом передачи обладает канал ₁  М в диапазоне частот   (1/_Тэ, 1/2 Т_пр) и поэтому наибольшее влияние на динамическую точность регулирования момента оказывают механические колебания с частотами, расположенными в указанной полосе.

Проанализируем далее влияние линейно-изменяющегося во времени возмущения ₁(t)=  t на реакцию контура на скачкообразное изменение управляющего воздействия М_зад при нулевых начальных условиях.

Используя принцип суперпозиции найдем реакцию контура на одновременно действующие управляющее М_зад(t)=const и возмущающее ₁(t)= t воздействия в виде суммы двух составляющих, т.е.

M(t)= X₁(t) - X₂(t).

Первая составляющая представляет собой стандартную реакцию оптимизированного контура на скачок управляющего (задающего) воздействия при отсутствии возмущения, т.е.

X₁(t) = М_зад (1-е^-t/2Тпр)

Вторая составляющая представляет собой реакцию оптимизи-рованного контура на возмущающее воздействие заданного вида при отсутствии задающего воздействия. Его мы найдем, используя пере-даточную функцию контура по возмущению, как

X₂(t)= L-¹{( /p²)W_в(p)}

или

X₂(t)= L-¹ { }

Находя

,

установим, что эта реакция содержит постоянную составляющую в виде моментной ошибки, пропорциональной скорости изменения возмущения , жесткости механических характеристик ЭМП  и постоянной времени преобразователя Т_пр. Далее эту ошибку мы будем обозначать как М.

Знаменатель изображения X₂(p) имеет три корня: p₁=0, p₂=-1/Т_э и p₃=-1/2Т_пр. Используя формулу разложения, искомую реакцию можно найти в виде

X₂(t)= М_ ,

где N(p)= 1+Т_прp. M’(p)= 6 Т_эТ_прp² + (4Т_пр+2Т_э)p+1

Тогда

N(p₁)= 1; M’(p₁)= 1: N(p₁)/M’(p₁)= 1.

N(p₂)= 1- Т_пр/Т_э ; M’(p₂)=2Т_пр/Т_э - 1; N(p₂)/M’(p₂)=

N(p₃)= 1/2 ; M’(p₃)= Т_э/2Т_пр - 1; N(p₃)/M’(p₃)=

Следовательно,

X₂(t)=  М - М e ^-t/тэ + М e ^-t/2Тпр

и окончательно,

М(t) = (М_зад - М ) -( М_зад + М ) e ^-t/2Тпр

+ М e ^-t/тэ

Временные зависимости X₁(t), X₂(t), М(t) и ₁(t) приведены на рисунке 17.7 .

Рис.17.7

Анализируя полученные временные зависимости, можно заключить, что

- Линейно-возрастающее возмущение обуславливает появление статической ошибки М_, пропрциональной скорости изменения возмущения,

- Время реакции в общем случае возрастает относительно расчетного (6 Т_пр), поскольку определяется электрической постоянной времени Т_э>> 2Т_пр

- Кривая M(t) приближается к кривой X₁(t) с уменьшением ошибки М_, пропорциональной Т_пр, в том случае, если преобразователь безинерционный (Т_пр =0).

- Время реакции равно расчетному (6 Т_пр), если М_  0.05 М_зад

 

РЕГУЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ В СИСТЕМЕ “УПП-ЭМП”

Технологические режимы многих производственных механизмов на разных этапах работы требуют движения исполнительного органа с различной скоростью. Это обеспечивается либо механическим путем, либо путем электрического регулирования скорости.

Механические способы требуют введения в кинематическую цепь системы коробок передач или других устройств, усложняющих механическую подсистему ЭМС и снижающих ее надежность.

Этого недостатка лишен второй путь- электрическое регулирование скорости с целью поддержания ее на заданном уровне или изменения ее во времени по требуемым законам с заданной точностью. Именно этим путем в современном электроприводе обеспечивается плавное регулирование скорости в диапазоне  _макс/ _мин до 100000 . Вопросы организации систем автоматического регулирования скорости и рассматриваются в данном разделе.

Требования к системам регулирования скорости

Рассмотрим обобщенную разомкнутую электромеханическую систему с известной структурной схемой

Рис.18.1

Структура описывается системой уравнений состояния

T_пр d₀/dt= K_пр u_у - ₀

T_э dM/dt =  (₀-₁) - M,

J d₁/dt= M- M_c

В установившемся режиме, когда все производные равны нулю, запишем систему так

0= K_пр u_у - ₀

0=  (₀-₁) - M,

0= M- M_c

Исключая последовательно переменные, получим уравнение семейства механических характеристик в виде

₁ = K_пр u_у - М_с/ 

или

₁ = _х - _(M) ,

где _х = K_пр u_у - скорость холостого хода , пропорциональная сигналу управления и _(M)- отклонение скорости от _х, обусловленное наличием статического момента нагрузки на валу М_с. Семейство механических характеристик представлено на рис.18.2.

Рис.18.2

С ростом сигнала управления u_у возрастает скорость холостого хода и механическая характеристика смещается вверх по оси скоростей параллельно самой себе (_х1 < _х2 < _х3).

Рост момента нагрузки приводит к отклонению скорости от заданного значения _х тем в большей степени, чем ниже значение жесткости механической характеристики . Результирующая скорость падает с ростом момента нагрузки в двигательном режиме работы ЭМП и растет- в генераторном режиме (если таковой обеспечивается схемой электрического преобразователя). Иными словами, при регулировании скорости момент нагрузки оказывается сильным возмущением и с точки зрения регулирования скорости необходимо искать методы, позволяющие повышать модуль статической жесткости  .

Однако, бесконечно большое увеличение сигнала управления не приводит к такому же возрастанию скорости _х , которую мы будем принимать условно за заданное значение скорости в системе регулирования скорости. Причиной является ограничение выходного сигнала электрического преобразователя на уровне _0гр . Следовательно, максимальное значение заданной скорости ограничено на уровне _0гр. Этому значению соответствует предельная механическая характеристика

₁ = _{0 гр} -М_с/  ,

выделенная на рис. жирной линией.

Таким образом идеальной системой с позиции регулирования скорости следовало бы считать систему, у которой

а) механическая характеристика была бы параллельна оси моментов (см. кривую на рис.), что означает, что скорость вращения не зависит от момента нагрузки

б) статическая регулировочная характеристика _х(u_у) была бы линейной в диапазоне 0 <_х < _{0 гр}

в) реакция системы на скачки управляющего u_у и возмущающего М_с воздействий должна быть по возможности мгновенной ( динамические качества системы должны быть высокими)

В системе с управлением ЭМП от электрического преобразователя указанная цель может быть достигнута введением отрицательной обратной связи по скорости на вход управляемого преобразователя в соответствии со структурной схемой, приведенной на рис.18.3.

Рис.18.3

 

Механические характеристики системы “УПП-ЭМП” с отрицательной обратной связью по скорости и П-регулятором

Представим управляющее воздействие u_у на входе электрического преобразователя в виде разности

u_у= K_п(u_зад - К_₁),

где u_{зад -} сигнал, пропорциональный заданному значению скорости ,

К_ - коэффициент, характеризующий глубину отрицательной обратной связи по скорости.

Тогда, систему уравнений состояния можно переписать в виде

T_пр d₀/dt= - ₀ - K_пр K_п К_₁ + K_пр K_п U_зад

T_э dM/dt =  ₀- M-  ₁,

J d₁/dt= M- M_c

Для установившегося режима система принимает вид

0=- ₀ - K_пр K_п К _{ 1} + K_пр K_п U_зад

0 =  ₀- M-  ₁,

0= M- M_c

Последовательно, начиная с последнего уравнения, исключая переменные, находим выражение, определяющее статическую механическую характеристику искомой системы

После введения понятий петлевого коэффициента усиления

К₀=K_пр K_пК_

и заданного значения скорости _1зад= u_зад/К_ уравнение механических характеристик примет вид

Приводя как и ранее данное уравнение к виду

₁ = _1х- _(М)_,

получим, что

- скорость холостого хода _1х пропорциональна сигналу задания и его значение приближается к заданному значению _1зад с ростом петлевого коэффициента усиления К₀

- отклонение скорости под воздействием статического момента _м также падает с ростом коэффициента передачи К₀ в одинаковом диапазоне изменения момента, т.е. возрастает эквивалентная жесткость механических характеристик. Вводя обозначение

_{э ск}= (1+К₀)

получим _ = М_с/_эск, где _эск - жесткость механических характеристик замкнутой по скорости системы. Как видно, с ростом петлевого усиления К₀ жесткость механических характеристик системы возрастает и при К₀    _эск  .

Семейство механических характеристик системы с отрицательной обратной связью по скорости, соответствующее одному заданному значению скорости _1зад и трем различным значениям петлевого коэффициента усиления К₀₁ <К₀₂ <К₀₃ представлено на рис.18.4. прямыми соответственно 1,2 и 3.

Рис.18.4

Легко показать, что отрицательная обратная связь по скорости оказывает форсирующее действие на замедленные инерцией электромеханические процессы в системе. Последние, как нам уже известно, во многом определяются электромеханической постоянной времени Т_м=J / , обратно пропорциональной жесткости механических характеристик . Увеличение петлевого усиления К₀ приводит к уве-личению эквивалентной жесткости механических характеристик _ск и как следствие, к снижению значения электромеханической постоянной времени, в тех случаях, пока выходное напряжение управляемого преобразователя в переходных процессах не выходит на уровень ограничения.

Однако беспредельное увеличение К₀ с целью повышения жесткости механических характеристик при наличии электромагнитной инерции ЭМП и электрической инерции управляемого преобразователя может привести к росту колебательности переходных процессов и в конце концов к потере устойчивости системы регулирования скорости. Поэтому вопросы оптимизации контуров регулирования при достижении заданных точностных показателей и здесь является актуальными.

Одноконтурная система с ПИ-регулятором скорости

Такие системы находят применение в тех случаях, когда Т_м>10Т_э, Т_пр<< Т_э и по техническим требованиям недопустимы статические ошибки по задающему и возмущающему воздействиям.

Исходная структурная схема системы имеет вид

Рис.19.1

Математическая модель в переменных состояния

Дополним систему уравнений состояния разомкнутой электромеханической системы

T_пр d₀/dt= K_пр u_у - ₀

T_э dM/dt =  (₀-₁) - M,

J d₁/dt= M- M_c

уравнением замыкани   u_зад - К_₁ и системой уравнений, описывающих ПИ-регулятор. Поскольку структурная схема последнего имеет вид

Рис.19.2

где  - ошибка системы и y_и -выходной сигнал интегратора регулятора, систему уравнений регулятора запишем как

dy_и/dt=  ; u_у = К_п  +(К_п /T_и) y_и

или с учетом уравнения замыкания dy_и/dt= u_зад - К_₁;

Тогда после преобразований система уравнений состояния примет вид

T_пр d₀/dt= - ₀ - К₀ ₁ + (К₀ /К_ T_и) y_и +K₀ _зад

T_э dM/dt =  ₀ - M-  ₁,

J d₁/dt= M- M_c

dy_и/dt= - К_₁ + К__зад ;

Для установившегося режима M= M_c и ₁ = _зад

Следовательно, в установившемся режиме при постоянном зада-ющем и возмущающем воздействиях статическая ошибка принципиально равна нулю независимо от параметров звеньев системы и от величины внешнего возмущения М_с, т.е. ₁=_зад. Значит механические характеристики указанной системы будут иметь следующий вид

Рис.19.3

Принимая в качестве вектора состояния вектор Y^т = [₀ M ₁ y_и]

и в качестве вектора управления - вектор U^т=[_зад M_c ], запишем полученную систему в стандартной матричной форме

где

A= ; B=

 

Оптимизация одноконтурной системы с ПИ-регулятором

После преобразований, структурную схему системы изобразим в следующем виде

Рис.19.4

Передаточная функция последнего звена представляет собой передаточную функцию линеаризованного ЭМП по моменту (возму-щению). При Т_м>4 Т_э, как было установлено ранее, последняя может быть представлена в виде

W _{1, Mc}(p) = ,

где Т₁ и Т₂ - постоянные времени, определяемые корнями полинома знаменателя передаточной функции

.

а именно Т₁= mod (1/₁ ) и Т₂= mod (1/₂ ). Обратим внимание на то обстоятельство, что T₁>T₂ и при Т_м>>Т_э Т₁ Т_м и Т₂ Т_э.

Cледовательно, расчетную структурную схему системы можно изобразить в виде

Рис.19.5

Заменим 2 инерционных звена с малыми (относительно Т₁) постоянными времени (преобразователь и апериодическое звено с постоянной времени Т₂) одним эквивалентным звеном с суммарной постоянной времени Т_ =Т_пр + Т₂ . Тогда

W_р(p)=₁(p)/ _зад(p)=

Последняя передаточная функция соответствует эталонной передаточной функции разомкнутой системы, настроенной на технический оптимум

если,

а) Т₁, т.е. Т_и=Т₁.

б) 2Т_ = Т_и/ K₀ или К₀= Т₁/2Т_ .

Следовательно, значение петлевого коэффициента усиления определяется соотношением постоянных времени Т₁/2Т_. При этом коэффициент передачи ПИ-регулятора определяется выражением

К_п= Т₁/2Т_ К_пр К_

Переходные процессы по управлению по характеру и времени соответствуют стандартным.

Исследуем далее реакцию контура на возмущение в виде момента. Для этого преобразуем структурную схему следующим образом:

Рис.19.6

После подстановки К₀= Т₁/2Т_ получим

W_в(p)=  ₁(p)/ M_c(p)=-

Находя предел ,

установим, что он равен нулю, и следовательно, регулируемая величина- скорость- в установившемся режиме не содержит ошибки, обусловленной статическим моментом нагрузки .

Найдем реакцию контура на скачок момента  М_с при нулевых начальных условиях.

₁(t)= L^-1{-( M_c/p) }

Используя формулу разложения, находим

(19.1)

Временная зависимость, соответствующая полученной формуле (19.1) представлена на рис. 19.7.

Рис. 19.7

Анализ ее показывает, что время парирования возмущения равно времени переходного процесса по управлению, т.е. t_п  3 Т₁

Для приближенной оценки максимального значения динамического отклонения скорости _макс примем, что оно имеет место в момент времени t*  Т_, что соответствует четверти периода свободных колебаний скорости

Т_св=2 /_св=4 Т_.

Подставляя значение t* в формулу 19.1, получим

При Т_ < 10Т₁ без большой погрешности можно пользоваться для оценки максимального динамического отклонения скорости следующим соотношением

Выводы:

1.Статические и динамические одноконтурной системы с ПИ-регулятором относительно управляющего воздействия полностью соответствуют характеристикам эталонной системы, настроенной на технический оптимум, в предположении что малая некомпенсированная постоянная времени Т_ =Т_пр + Т_{2 .} Быстродействие контура при этом практически определяется электрической постоянной времени Т_э, т.е. t_п  6 Т_э .

2. Система не имеет статической ошибкой и по управлению и по возмущению независимо от ее параметров, что определено типом регулятора

3. Длительности переходных процессов по возмущению опреде-ляется самой большой постоянной времени Т_1 Т_м ,т.е. t_п  3 Т_м

4. Динамические отклонения скорости в процессе парирования скачкообразного изменения момента нагрузки прямо пропорциональны величине скачка М_с и некомпенсированной постоянной времени Т_ и обратно пропорциональны жесткости механических характеристик собственно ЭМП и большой постоянной времени Т₁.

 

Одноконтурная схема с П-регулятором скорости

Такие системы находят применение в тех случаях, когда Т_м>10Т_э , Тпр<< Тэ и по техническим требованиям допустимы статические ошибки по задающему и возмущающему воздействиям.

Исходная структурная схема системы имеет вид

Рис.20.1

и после структурных преобразований может быть изображена в виде рис.20.2

Рис.20.2

 

Оптимизация одноконтурной системы с П-регулятором

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию имеет вид

W_р(p)= ₁(p)/ _зад(p)=

Заменим 2 инерционных звена с малыми (относительно Т₁) постоянными времени (преобразователь и апериодическое звено с постоянной времени Т₂) одним эквивалентным звеном с суммарной постоянной времени Т_ =Т_пр + Т₂ , так что

W_р(p)=₁(p)/ _зад(p)=

Подберем такой коэффициент передачи К₀, что частота среза ЛАХ разомкнутой системы была бы равна _c=1/2 Т_ . Тогда ЛАХ можно изобразить в виде ломаной 1 на рисунке 20.3

Рис.20.3

Ломаной 2 на том же рисунке изображена стандартная ЛАХ разомкнутой системы, настроенной на технический оптимум. Последняя соответствует эталонной передаточной функции

Указанные ЛАХ идентичны в среднечастотной и высокочастотных областях и разнятся лишь в низкочастотной областях при  < 1/T₁. Следует заметить, что чем больше значение постоянной времени Т₁, тем больше диапазон частот, где ЛАХ исследуемой и эталонной систем совпадают, тем ближе по характеру переходные процессы в исследуемой системе к эталонным процессам.

Уподобим рассматриваемую систему с П-регулятором в диапазоне частот   ( 1/T₁, ) системе с ПИ-регулятором, время изодрома которого выбрано из условия компенсации постоянной времени Т₁, т.е. Т_и=Т₁. Тогда в выражении для передаточной функции разомкнутой исследуемой системы следует принять

К₀= Т₁/2 Т_

Следовательно, петлевой коэффициент передачи контура с П-регулятором, настроенным на технический оптимум (при Т₁>> Т_ ) зависит только от отношения большой постоянной времени Т₁ к сумме малых постоянных времени Т_.

Переходные процессы по характеру и времени близки к стандартным. Однако статические характеристики замкнутого контура с П-регулятором будут отличаться от стандартных, характерных для систем, оптимизированных с использованием И- или ПИ- регуляторов.

Статические и динамические характеристики оптимизированного контура

Передаточная функция замкнутого контура с П-регулятором, настроенного на технический оптимум имеет вид

,

Статический коэффициент передачи контура меньше единицы и определяется выражением

Этот коэффициент зависит только от соотношения постоянных времени Т₁ и Т_ и приближается к единице при Т₁ /Т_   .

Наличие статической ошибки регулирования определяет и отличие переходной характеристики замкнутого контура (реакции на единичный скачок задающего воздействия) от эталонной. Эти характеристики приведены на рисунке 20.3, где 1-истинная кривая, а 2- экспоненциальное приближение эталонной кривой.

Рис.20.4

 

Передаточная функция оптимизированного контура по возмущению -статическому моменту- может быть составлена с использованием следующей структурной схемы

Рис.20.5

которая после известных структурных преобразовании принимает вид

Рис.20.6

Заменяя замкнутый контур эквивалентным апериодическим звеном первого порядка, запишем выражение для передаточной функции оптимизированного контура по возмущению в виде

W_в(p)= ₁(p)/M_c(p)=-

Следовательно, при М_с=Const операторное изображение выходной величины (скорости) имеет вид

 ₁(p)= -

Находя предел

,

установим, что он не равен нулю, и следовательно, регулируемая величина- скорость- в установившемся режиме содержит ошибку, обусловленную статическим моментом нагрузки. Эта ошибка равна

- _ = М_с/  (1+К₀),

что согласуется с результатом, полученным при исследовании меха-нических характеристик указанной системы. Эта ошибка прямо про-порциональна статическому моменту М_с и обратно пропорциональна жесткости механической характеристики замкнутого контура

_ск=  (1+К₀)=  (1+Т₁/2Т_)

Как видно, увеличение жесткости в замкнутой системе по ставнению с ее значением в разомкнутой системе ограничено отношением постоянных времени (Т₁/2Т_). Увеличение коэффициента передачи К_п с целью увеличения жесткости механических характеристик приведет к увеличению колебательности кривой процесса относительно эталонной кривой.

Найдем реакцию контура на скачок момента М_с при нулевых начальных условиях.

₁(t)= L^-1{- }

или

₁(t)= -_ L^-1{ }

Используя формулу разложения, легко находим

₁(t)= -_ ( )

Временные зависимости, соответствующие полученной формуле представлены на рисунках 20.7а,б.

Рис.20.7

Выводы:

1. И статические и динамические характеристики системы практически полностью определяются соотношением постоянных времени Т₁ и T_

2. Длительности переходных процессов как по управлению, так и по возмущению одинаковы и равны  6(Т_э+ Т_пр)

3. Система обладает статической ошибкой и по управлению и по возмущению, определяемой типом регулятора и соотношением постоянных времени Т₁ и T_

Одноконтурная система с ПИД-регулятором скорости

Анализируя характеристики одноконтурной системы с ПИ-регулятором, можно сделать вывод о том, что уменьшение времени реакции на скачок задающего воздействия и динамических ошибок при парировании скачкообразных возмущений по нагрузке связано с уменьшением некомпенсированной постоянной времени Т_. В рассмотренном выше случае Т_ = Т_пр + Т₂, или при Т_>10Т_э  Т_  Т_пр + Т_э. Следовательно, постоянную времени Т_ можно уменьшить, компенсируя электромагнитную постоянную времени ЭМП Т_э. Компенсацию можно осуществить с использованием ПИД-регулятора в контуре управления. При этом нет ограничения на соотношение постоянных времени Т_м и Т_э.

Структурная схема и математическая модель системы

Исходная структурная схема системы представлена на рис.21.1

Рис.21.1

Дополним систему уравнений состояния разомкнутой электромеханической системы

T_пр d₀/dt= K_пр u_у - ₀

T_э dM/dt =  (₀-₁) - M,

J d₁/dt= M- M_c

уравнением замыкания   u_зад - К_₁ и системой уравнений, описывающих ПИД-регулятор. С учетом инерционности, неизбежно появляющейся при реализации ПИД- регулятора, передаточную функцию последнего запишем в виде

W_R(p)=U_у(p)/ (p)= ,

где Т_v- постоянная времени дополнительного инерционного звена или

W_R(p)=U_у(p)/ (p)=

Используя известный нам метод прямого программирования составим структурную схему системы в переменных состояния

Рис.21.2

где y_p2 и y_p1 - выходные координаты (переменные состояния) интеграторов модели ПИД-регулятора.

Уравнения состояния ПИД-регулятора примут при этом вид

=

=  - (1/T_v)

u_у= (К_п/Т_v Т_и.)y_p1+ (К_п/Т_v ) + (К_пТ_д/Т_v ) .

После подстановки  из уравнения замыкания системы, получим

=

= u_зад - К _{ 1}- (1/T_v)

u_у = y_p1+ -   + u_зад

Подставляя u_у в первое уравнение исходной системы , получим математическую модель рассматриваемой одноконтурной системы с ПИД-регулятором в уравнениях состояния

T_пр = -  ₀ -  ₁ + y_p1 + +  _зад

T_э =   ₀ - M-   ₁,

J = M- M_c

=

= - К_₁- (1/T_v) + К _{ зад}

Видно, что для установившегося режима M= M_c и ₁ = _зад

Следовательно, в установившемся режиме при постоянном зада-ющем и возмущающем воздействиях статическая ошибка принципиально равна нулю независимо от параметров звеньев системы и от величины внешнего возмущения М_с, т.е. ₁=_зад. Значит механические характе-ристики указанной системы будут иметь тот же вид, что и для рассмотренной выше системы с ПИ-регулятором.

Принимая в качестве вектора состояния вектор Y^т = [₀ M ₁ y_p1 ]

и в качестве вектора управления - вектор U^т=[ _зад M_c ] , запишем полученную систему в стандартной матричной форме

где

A=

B=

 

Оптимизация одноконтурной системы с ПИД-регулятором

После преобразований, как и ранее структурную схему системы изобразим в следующем виде (рис.21.3)

Рис.21.3

Заменим, как и ранее, 2 инерционных звена с малыми (относительно Т_э и Т_м) постоянными времени (преобразователь и допол-нительное инерционное звено ПИД-регулятора с постоянной времени Т_v) одним эквивалентным звеном с суммарной постоянной времени Т_ =Т_пр + Т_v ,так что

W_р(p)=₁(p)/ _зад(p)=

Последняя соответствует эталонной передаточной функции системы, настроенной на технический оптимум

если

а) время изодрома выбрано из условия компенсации постоянной времени Т_м, т.е. Т_и=Т_м, а время предварения равно постоянной времени Т_э, т.е. Т_д=Т_э.

б) 2Т_ = Т_и/ K₀ или К₀= Т_м/2Т_. При этом коэффициент передачи ПИД-регулятора определяется выражением

К_п= Т_м/2Т_ К_пр К_

О свойствах синтезированной таким образом системы можно сказать следующее:

1. Статические и переходные характеристики системы по управляющему воздействию соответствуют стандартному контуру, настроенному на технический оптимум, при этом быстродействие системы выше, относительно ранее рассмотренной системы с ПИ-регулятором за счет уменьшения малой некомпенсированной постоянной времени Т_.

2. Как и ранее рассмотренная, данная система обладает астатизмом первого порядка по возмущению.

СИСТЕМЫ ПОДЧИНЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ

Общие принципы построения систем подчиненного регулирования, их преимущества и недостатки были рассмотрены в лекции 15. Системы подчиненного регулирования скорости содержат внутренний (подчиненный) контур регулирования момента и один или два внешних контура регулирования скорости.

Двухконтурная система с П-регулятором скорости

Структурная схема системы с П-регулятором скорости представлена на рис. 22.1. Структурная схема контура регулирования момента не отличается от рассмотренной в лекции 17 (см. рис. 17.1). ПИ- регулятор момента с коэффициентом передачи К_п1 и временем изодрома Т_и представлен на рис.22.1 детализированной структурной схемой. Через ps₁ и ps₂ обозначены ошибки соответственно на входах контуров регулирования момента и скорости. П-регулятор скорости имеет коэффициент передачи К_п2, а его выходное напряжение u_{зад м} является задающим для подчиненного контура регулирования момента.

Рис.22.1

Математическая модель системы содержит 4 уравнения

T_пр d₀/dt= - ₀ +K_пр u_у

T_э =   ₀ - M-  ₁,

J = M- M_c

= eps₁

где к известным переменным состояния, характеризующим энергетическую подсистему ЭМС, добавлена выходная координата интегратора ПИ-регулятора скорости y_p1.

Для формирования модели к уравнениям состояния следует добавить уравнения связей, по существу формирующие из задающего воздействия и координат состояния управляющее воздействие U_у на входе управляемого преобразователя (или на входе энергетической подсистемы). Как видно последнее связано с ошибками ₂ (на входе регулятора скорости) и ₁ (на входе регулятора тока)

_2 u_зад - К_₁

_1 ₂К_п2 - К_м М

u_у=₁К_{п1 +}(К_п1/Т_и1)y_p1

Исключая переменные (в виде ошибок) из уравнений связи (последовательно, начиная с первого), получим

u_у= К_п1 К_п2 u_зад - К_п1 К_п2 К_₁ - К_п1 К_м М +(К_п1/Т_и1)y_p1

 

Оптимизация контуров регулирования

Внутренний (подчиненный ) контур регулирования момента имеет унифицированную структуру (рис.22.2).

Рис.22.2

Контур настраивается на технический оптимум. Покольку обычно Т_э Т_пр и, кроме того, инерционность преобразователя по условию компенсировать нельзя и не имеет смысла, то примем постоянную времени преобразователя в качестве малой некомпенсированной постоянной (Т_пр=Т_1) и выберем время изодрома регулятора из условия компенсации постоянной времени Т_э. Тогда передаточная функция разомкнутого внутреннего контура примет вид

.

Оптимизируя контур, найдем

2T_пр = Т_э/ К_пр К_п1 К_м _ К_{п 1}=Т_э / 2К_пр T_пр К_м

Передаточная функция замкнутого контура регулирования момента примет вид

,

или после известного упрощения

.

Тогда расчетная структурная схема контура регулирования скорости примет вид

Рис. 22.3

или

Рис. 22.4

где ps^*₂=ps₂/ K_

Передаточная функция разомкнутого контура

W_p(p)=₁(p)/ ps^*₂(p)= .

Настраивая контур на технический оптимум, примем в качестве малой некомпенсированной постоянной времени величину 2Т_пр =Т_2=2Т_1. Коэффициент передачи П-регулятора скорости получим из условия

2Т_2= К_мТ_м / К_п2К_

Следовательно, К_п2 = К_мТ_м  / К_ 4Т_пр

Статические и динамические характеристики контура с такими настройками относительно задающего (управляющего) воздействия соответствуют характеристикам стандартной системы, настроенной на технический оптимум. Передаточная функция замкнутого контура по заданию имеет вид

,

или

При этом

а) контур не имеет статической ошибки, пропорциональной сигналу задания (система обладает астатизмом первого порядка по управлению)

б) время переходного процесса по управлению составляет величину

t_п  6 Т_2  12 Т_1  12 Т_пр ,

однозначно определяется величиной постоянной времени управляемого электрического преобразователя и вдвое превышает время переходного процесса в контуре регулирования момента. Последнее является характерным свойством систем подчиненного регулирования: при настройке контуров на технический оптимум: быстродействие внешнего контура вдвое меньше быстродействия подчиненного внутреннего контура.

Рассмотрим далее характеристики контура относительно возму-щающего воздействия (момента нагрузки М_с)

Преобразуя схему известным образом, получим

Рис.22.5

Передаточная функция системы по возмущению после замены замкнутого контура регулирования скорости эквивалентным апериодическим звеном равна

или с учетом выражения для коэффициента передачи П-регулятора оптимизированного контура

К_п2 = К_мТ_м  / К_4Т_пр

Найдем операторное изображение скорости ₁(p), при нулевых начальных условиях и нулевом задающем воздействии представляющем собой ошибку контура (p), обусловленную постоянным моментом статической нагрузки

Находя установившееся значение ошибки в системе как,

,

установим, что

1. Эта ошибка отлична от нуля при любом ненулевом моменте нагрузки М_с , и следовательно, в пределах зоны пропорциональности УПП механические характеристики определяются выражением

₁=_зад + _уст

и по форме не отличаются от аналогичных характеристик одноконтурной системы регулирования скорости с П-регулятором.

2. Жесткость механических характеристик замкнутого контура определяется выражением

_{ск =}  (Т_м/4 Т_пр)

и при определенном соотношениии параметров (Т_м/4Т_пр)<1 (т.е. при малых Т_м) может быть ниже, чем жесткость характеристик собственно ЭМП ().

Используя операторное изображение ошибки контура, возникающей при парировании возмущения по моменту и известную формулу разложения, нетрудно установить, что временная зависимость ₁(t) имеет вид

₁(t) =_уст ( ).

График, соответствующий этой зависимости представлен на рис.22.6.

Рис.22.6

Как видно,

а) процесс парирования - колебательный с перерегулированием, не превышающем значения 5 %;

б) время парирования соответствует стандартному и составляет величину t_п  12 Т_пр.

Стандартная настройка контура регулирования скорости на технический оптимум широко используется на практике в связи с простотой технической реализации и благоприятным в большинстве случаев характером протекания переходных процессов. Однако, как было установлено, точность регулирования при малом моменте инерции нагрузки может быть ниже, чем в разомкнутой системе и не удовлетворять техническим требованиям. В этих случаях в унифицированных структурах прибегают к увеличению порядка астатизма по отношению к воздействию нагрузки.

Двухконтурная система с ПИ-регулятором скорости

Структурная схема системы с ПИ-регулятором скорости представлена на рис. 23.1. ПИ- регулятор момента с коэффициентом передачи К_п1 и временем изодрома Т_и1 представлен на рис.23.1 детализированной структурной схемой. Аналогично представлен ПИ-регулятор скорости с коэффициентом передачи К_п2 и временем изодрома Т_и2 Через ps₁ и ps₂ обозначены ошибки соответственно на входах контуров регулирования момента и скорости. Выходное напряжение u_зад(м) регулятора скорости является задающим для подчиненного контура регулирования момента.

Математическая модель системы содержит 5 уравнений состояния

T_пр d₀/dt= - ₀ +K_пр u_у

T_э = ₀ - M- ₁,

J_ = M- M_c

= ps₁

= ps₂,

где к известным переменным состояния, характеризующим энергети-ческую подсистему ЭМС, добавлены выходы интеграторов ПИ-регу-ляторов y_p1 и y_{p2 ,} , характеризующие состояние информационной подсистемы.

Для формирования модели к уравнениям состояния следует добавить уравнения связей, по существу, формирующие из задающего воздействия и координат состояния управляющее воздействие u_у на входе управляемого преобразователя (или на входе энергетической подсистемы). Как видно последнее связано с ошибками ps₂( на входе регулятора скорости) и ps₁ (на входе регулятора момента )

ps₂ u_зад - К_ ₁

ps₁ ps₂К_п2 - К_м М+ y_p2 (К_п2/Т_и2)

u_у=ps₁К_{п1 +}(К_п1/Т_и1)y_p1

Исключая переменные ( в виде ошибок) из уравнений связи (последовательно, начиная с первого), получим

u_у= К_п1 К_п2 u_зад - К_п1 К_п2 К_ ₁ - К_п1 К_м М + y_p1(К_п1/Т_и1) - y_p2 (К_п1К_п2/Т_и2)

Оптимизация контуров регулирования

Внутренний (подчиненный ) контур регулирования момента имеет унифицированную структуру и содержит ПИ-регулятор момента , пара-метры которого выбираются из условия настройки контура на технический оптимум, т.е.

Т_и1= Т_э ; Т_пр=Т_1 ; К_{п 1}=Т_э / 2К_прT_пр К_м

Передаточная функция замкнутого контура регулирования момента примет вид

,

или после известного упрощения

.

Тогда структурная схема контура регулирования скорости примет вид

Передаточная функция разомкнутого контура

W_p(p)=₁(p)/ ps^*₂(p)=

Сравнивая ее с передаточной функцией эталонной системы, настроенной на симметричный оптимум

и принимая в качестве малой некомпенсированной постоянной времени величину 2Т_пр =Т_2=2 Т_1. получим параметры ПИ-регулятора скорости: время изодрома

Т_и2= 4 Т_2 = 8Т_пр

и коэффициент передачи К_п2 из условия

8Т²_2= К_мТ_м4Т_2 / К_п2К_

Следовательно, К_п2 = К_мТ_м / К_ 2Т_2

или

К_п2 = К_мТ_м / К_4Т_пр

Статические и динамические характеристики контура с такими настройками относительно задающего (управляющего) воздействия соответствуют характеристикам стандартной системы, настроенной на симметричный оптимум. Передаточная функция замкнутого контура по управлению имеет вид

,

или

.

При этом

а) Контур не имеет статической и скоростной ошибки, относительно сигнала задания (система обладает астатизмом второго порядка по управлению). В литературе часто такую систему называют двукратно-интегрирующей.

б) Время переходного процесса по управлению составляет величину

t_п  12Т_2  24Т_1  24Т_пр ,

однозначно определяется величиной постоянной времени управляемого электрического преобразователя и в 4 раза превышает время переходного процесса в контуре регулирования момента.

в) Перерегулирование при отработке скачка задания контуром, настроенным на симметричный оптимум, составляет, как известно, величину 43%. Для уменьшения его до величины 8.3% на входе контура, в канале формирования сигнала задания устанавливается фильтр в виде апериодического звена с передаточной функцией

W_ф(p)=u_зад (p)/ u_вх(p)= 1/ (Т_фp +1),

причем постоянная времени фильтра выбирается из условия компенсации числителя передаточной функции замкнутой системы, т.е.

Т_ф= 4 Т_2  8Т_1  8Т_пр.

Для учета такого фильтра математическую модель системы следует дополнить еще одним уравнением

Рассмотрим далее характеристики контура относительно возму-щающего воздействия (момента нагрузки М_с)

Преобразуя схему известным образом, получим

₁

Передаточная функция системы по возмущению

W_в(p)=

или с учетом выражения для коэффициента передачи ПИ-регулятора оптимизированного контура

К_п2 = К_мТ_м / К_4Т_пр

W_в(p)=

Найдем операторное изображение ошибки контура (p) в виде изменения скорости, обусловленного скачкообразным приложением момента статической нагрузки при нулевом задании по скорости и нулевых начальных условиях

(p) =

Находя установившееся значение ошибки в системе как

,

установим, что эта ошибка равна нулю при любом моменте нагрузки М_с , и следовательно, в пределах зоны пропорциональности УПП механические характеристики определяются выражением

₁=_зад

и по форме не отличаются от аналогичных характеристик одноконтурной системы регулирования скорости с ПИ-регулятором.

Для оценки характера процесса парирования скачкообразного возмущения определим переходную характеристику системы по возмущению, используя операторное изображение ошибки

(t) =

Корни полинома знаменателя выражения, заключенного в фигурные скобки, известны:

p₁= -1/ 2T_2=-1/4T_пр;

p_2,3= -1/ 4T_2 j3/ 4T_2=-1/ 8T_пр j3/ 8T_пр

Используя формулу разложения, находим

(23.1)

График полученной зависимости представлен на рис. 23. 4.

Рис. 23. 4

Анализ ее показывает, что время парирования возмущения равно времени переходного процесса по управлению, т.е. t_п 24 Т_пр и вдвое превышает время парирования возмущения в ранее рассмотренной системе с П-регулятором и настройкой на технический оптимум

Для приближенной оценки максимального значения динамического отклонения скорости _макс заметим, что оно имеет место в момент времени t*6 Т_пр. Подставляя значение t* в формулу 23.1, получим

_макс (t*) 3.54 (М_с/J) Т_пр

Настройка контура регулирования скорости на симметричный оптимум широко используется на практике в связи с простотой технической реализации и наличием астатизма первого порядка по возмущению. Однако, как было установлено, перерегулирование при реакции на скачок управляющего воздействия в 10 раз больше , чем в системе , с контуром скорости, настроенным на технический оптимум. Снижение величины перерегулирования без использования входного сглаживающего фильтра и при сохранении астатизма по моменту нагрузки. свойственного двукратноинтегрирующей системе, возможно в трехконтурной системе регулирования скорости.

Трехконтурная система регулирования скорости

 

Структурная схема системы изображена на рис.24.1. Система содержит внутренний подчиненный контур регулирования момента с известной структурой и два внешних контура регулирования скорости. Первый внешний контур содержит П-регулятор с коэффициентом передачи K_п2 и датчик скорости с коэффициентом передачи K_1. Второй внешний контур содержит И-регулятор с постоянной времени Т_и2 и датчик скорости с коэффициентом передачи K_2.

Рис.24.1

Математическая модель системы содержит 5 уравнений состояния

T_пр d₀/dt= - ₀ +K_пр u_у

T_э = ₀ - M- ₁,

J = M- M_c

= ₁

= ₃

где к известным переменным состояния, характеризующим энергети-ческую подсистему ЭМС, добавлен выхол интегратора ПИ-регулятора момента y_p1, и выход интегратора И-регулятора внешнего контура регулирования скорости y_p2.

Для формирования модели к уравнениям состояния следует добавить уравнения связей, по существу формирующие из задающего воздействия и координат состояния управляющее воздействие U_у на входе управляемого преобразователя (или на входе энергетической подсистемы). Как видно последнее связано с ошибками ps₃ (на входе регулятора внешнего контура регулирования скорости, ps₂ (на входе регулятора внутреннего контура регулирования скорости) и ps₁ (на входе регулятора момента)

ps_3 u_зад - К_2 ₁

ps_2 y_p2/ Т_и2 - К_1₁

ps_1 ps₂К_п2 - К_м М

u_у=ps₁К_{п1 +}(К_п1/Т_и1)y_p1

Оптимизация контуров регулирования

Внутренний (подчиненный) контур регулирования момента имеет унифицированную структуру, настраивается с использованием ПИ-регулятора на технический оптимум и имеет передаточную функцию

,

или после известного упрощения

.

Передаточная функция первого внешнего контура регулирования скорости с П-регулятором при настройке на технический оптимум по управлению имеет вид

или после упрощения

.

Условие оптимизации

К_п2=К_мТ_м /4 Т_пр K_1 (24.1)

было получено в лекции 22.

Тогда передаточную функцию разомкнутого второго внешнего контура регулирования скорости можно записать так

,

где ps^*₃= ps₃/ K_2.

Принимая в качестве малой некомпенсируемой постоянной времени величину Т_3=4 Т_пр, получим условие настройки контура на технический оптимум в виде

2Т_3=8 Т_пр = Т_и2 K_1 /K_2

или Т_и2 = 8 Т_пр K_2 /K_1 (24.2)

 

При этом передаточная функция замкнутой системы вцелом по задающему воздействию примет вид

,

где  _зад= u_зад/ K_2.

Этой системе соответствует переходная характеристика с временем процесса t_п= 24 Т_пр, не отличающемся от времени его в двукратно-интегрирующей системе, но с перерегулированием, не превышающим 4,3%, как в обычном контуре с настройкой на технический оптимум. По отношению к контуру с настройкой на симметричный оптимум оно меньше в 10 раз и для уменьшения его не требуется установка входного сглаживающего фильтра.

Оценим далее свойства рассматриваемой трехконтурной системы по отношению к возмущениям в виде изменения статического момента нагрузки. Для этого проведем следующие структурные преобразования

Далее с учетом условий оптимизации (24.1) и (24.2)

Далее

Окончательно

 

и

W_в(p)=  ₁(p)/M_c(p)= .

 

Полученная передаточная функция идентична соответствующей передаточной функции по возмущению двукратноинтегрирующей системе регулирования скорости, настроенной на симметричный оптимум, если в знаменателе последней пренебречь слагаемым с р³. Следовательно, для данной системы справедливы относительно возмущения все те выводы, которые были сделаны для ранее рассмотренной системы.