Динамические характеристики канала  0  1

При любых параметрах ЭМП передаточная функция указанного канала имеет вид (7.2).

При значениях Т_э таких, что 4Т_э<Т_м и, следовательно    _д , передаточная функция имеет два вещественных полюса  ₁ и  ₂ . При введении обозначений Т₁= mod (1/ ₁ ) и Т₁= mod (1/ ₂ ), передаточная функция (7.2) приводится к виду

W _{1, 0}(p)= ₁(p)/ ₀(p)= ,

что соответствует последовательному соединению двух апериодических звеньев первого порядка с постоянными времени Т₁ и Т₂. Такому соединению соответствует переходная характеристика h(t) вида

h(t)= L^-1{W(p)/p}= 1+ - .

ЛАХ и переходная характеристика канала для данного случая пред-ставлены на рис. 7.3, а и б.

  

Рис. 7.3, а Рис. 7.3, б

Как видно, реакция скорости на скачок управления носит апериодический характер и время ее определяется приближенно как 3T₁. Это время растет с ростом электрической и механической постоянной времени при сохранении соотношения постоянных 4Т_э<Т_м.

При 4Т_э=Т_м характеристическое уравнение системы имеет два равных вещественных корня  ₁  ₂    -1/2Т_э. Передаточная функция (7.2) принимает при этом вид

W _{1, 0}(p)= ₁(p)/ ₀(p)= ,

где Т=2Тэ, что соответствует последовательно включенным одинаковым апериодическим звеньям первого порядка. Переходная характеристика ЭМП описывается выражением

h(t) = 1- (1+ t)e^{- t} =1- (1+t/2Tэ) e^-t/2Tэ.

Как видно и в этом случае переходная характеристика носит апе-риодический характер, при этом время процесса составляет величину t_п= 6Т_э. ЛАХ и переходная характеристика канала для данного случая представлены на рис. 7.4, а и б.

 

Рис. 7.4, а Рис. 7.4, б 

При 4Т_э>Т_м корни характеристического уравнения ЭМП становятся комплексно-сопряженными и принимают вид

 ₁,₂=-  j _св,

где  _св=  _д²  ² - частота свободных колебаний .

Общее выражение передаточной функции ЭМП приобретает вид передаточной функции колебательного звена

W _{1, 0}(p)= ₁(p)/ ₀(p)= ,

где постоянная времени T и коэффициент затухания  определяются выражениями

T= Tэ Tм и  = Tм/ 2 Tэ Tм =  / _д

Частотные характеристики колебательного звена, соответствующие значениям  =1,  =0.71 и  =0.35 приведены на рис. 7.5,а.

Рис. 7.5, а Рис. 7.5, б 

Они показывают, что при уменьшении  колебательность ЭПМ возрастает и при  < 0.71 в ЛАЧХ проявляется резонансный пик, быстро возрастающий с уменьшением  .

Переходная функция канала ₀₁ определяется в рассматриваемом случае выражением

h(t)= 1 -

На рис. 7.5,б представлен ряд зависимостей h(t), соответствующих различным значениям  .

Анализ этих кривых, а также выражения для h(t) , что

а) время затухания колебаний зависит только от электрической постоянной времени Т_э и определяется как t_п= 6 Т_э;

б) с ростом постоянной времени Т_э при неизменной электромеханической постоянной времени Т_м растет время переходного процесса и при этом возрастает частота свободных колебаний  _св;

в) При  = 0.71 колебания затухают практически за один период, а скорость ₁ достигает установившегося значения с превышением его в переходном процессе (перерегулированием) около 5%. При  <0.71 затухание колебаний ухудшается и перегулирование сильно возрастает.

Мы здесь не будем проводить столь же детальный анализ динамических характеристик всех каналов. Имея описание в пространстве состояний, это легко сделать по аналогичному алгоритму. Здесь отметим все же следующее:

1. Переходные процессы по характеру и длительности для всех каналов одинаковы, поскольку определяются одними и теми же корнями (собственными числами).

2. Для каналов Mc  ₁ и ₀  при одинаковых прочих параметрах следует ожидать больших по величине динамических отклонений (перемахов и перерегулирований) из-за наличия в их составе дифференцирующих звеньев (форсирующего звена первого порядка и идеального дифференцирующего звена).

3. С позиций обеспечения условий устойчивости замкнутой системы каналы Mc ₁ и ₀  благоприятнее остальных по той же причине, поскольку диапазон изменения фазового сдвига в диапазоне частот входного воздействия   (0,  ) ограничен величиной 0 - -90 град.

4. Передаточная функция канала Mc ₁ имеет знак (-), указывающий на то, что с увеличением момента сопротивления (нагрузки) скорость двигателя падает из-за падающей механической характеристики ЭМП.

5. Канал ₀ не имеет статической характеристики. Это значит, что электромагнитный момент после окончания переходного процесса возвращается к одному и тому же установившемуся значению, не зависящему от управляющего воздействия ₀ . Оно определяется приложенным моментом нагрузки Mc.

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В одном из предыдущих разделов мы рассматривали динамические характеристики механической подсистемы обособленно от электрической части. Управляющим воздействием для нее являлся электромагнитный момент ЭМП, который задавался независимой функцией времени. Переходные процессы в такой подсистеме обуславливались изменением управляющего момента и моментов нагрузок (возмущений) и назывались механическими переходными процессами.

В электромеханической подсистеме электромагнитный момент ЭМП в соответствии с механической характеристикой зависит от механической переменной - скорости. Электромеханическая связь объединяет механическую и электрическую части ЭМП в единую систему, переходные процессы в которой носят название электромеханических переходных процессов.

Электромеханическим переходным процессом называется процесс перехода ЭМС от одного установившегося режима к другому, когда одновременно меняются скорость и электромагнитный момент ЭМП. К переходным процессам относятся в частности процессы пуска, торможения и реверса электродвигателя, процессы, обусловленные изменением задающих и возмущающих воздействий ЭМС.

Здесь мы сосредоточим внимание на характере переходных про-цессов в электромеханической системе “ ЭМП - механизм” с жесткими механическими связями , когда механизм представляется одномассовой моделью. Система уравнений состояния для такой ЭМС нам известна,

dM/dt = -(1/ T_э)M - ( / T_э) ₁+ ( / T_э)  ₀,

d ₁/dt= (1/  T_м) M -(1/  T_м) M_c

Принимая в качестве вектора состояния вектор

Y^т =[ M  ₁ ] ,

в качестве вектора управления - двумерный вектор

U^т = [ ₀ M_c]

и в качестве выходных переменных - сами переменные состояния , мы получили

A= , B= , C= 1.

Решение ее, определяющее процессы при произвольной форме возмущающих воздействий (элементов вектора управления U), определяется стандартным выражением

Y(t) = e ^AtY(0) +  e ^{A(t- )} B U( ) d

При анализе реакции ЭМС на скачкообразные изменения управ-ляющего воздействия ₀ и момента нагрузки М_с можно считать, что U( )= const при t   . В этом случае решение принимает вид

Y(t) = e ^{At [} Y(0) - Y_пр ] + Y_пр ,

где Y_пр = -A^-1BU- вектор-столбец, определяющий принужденное состояние системы.

Осуществляя обращение матрицы А, получим

A^-1= adj A/ det A=

Окончательно

A^-1 =

Следовательно,

A^-1BU=   =

=  =

Таким образом

Y_пр = -A^-1BU= =

Полученный результат показывает, что

- новый установившийся (или принужденный) режим имеет место при равенстве электромагнитного момента ЭМП и момента нагрузки на валу М_с .

- установившееся (принужденное) значение скорости определяется механической характеристикой системы.

Эти же результаты можно получить из исходной системы уравнений состояния, если приравнять нулю производные переменных состояния (dM/dt и d ₁/dt).

Характер свободной составляющей процесса

Y_св (t)= e ^At [ Y(0) - Y_пр ]

определяется матричной экспонентой e ^At .

В случае, если собственные числа матрицы А простые - т.е. вещественные и разные, матричная экспонента вычисляется по формуле

C_r e  ^rt , (8.1)

где матричные коэффициенты C_r могут быть найдены в соответствии с теоремой Кэли-Гамильтона как

C_r = (8.2)

Для системы второго порядка с простыми числами ₁ и ₂ матричная экспонента может быть найдена в виде

 

e ^At = +

Учитывая, что в нашем случае a₁₁= -1/Т_э, а₁₂= - /Т_э, а₂₁= 1/ Т_м и а₂₂=0, получим

e ^At = -

Суммируя матрицы и приводя подобные члены, получим

 e ^At = 

-

 

 

 

 

 

 

Вводя обозначения  M(0) = M(0) - M_пр = M(0) - Mc и (0)=₁(0)- _1пр, найдем свободную составляющую процесса

Y_св (t)= e ^At [ Y(0) - Y_пр ]

Y_св =

+

- +

 

 

 

 

 

 

Прибавляя ранее найденные принужденные составляющие, окончательно получим

M(t)= Mc + +	(8.3)
 1(t) =  1пр - +	(8.4)

Обратим внимание на то, что

1. реакция системы на скачкообразное изменение управляющего воздействия ₀ при постоянном моменте нагрузки Mc на валу ЭМП определяется только первым и третьим слагаемыми выражений 10.1 и 10.2., поскольку M(0)= M_пр и следовательно, M(0)=0. (причина - электромагнитная инерция, не позволяющая моменту М измениться скачком при скачкообразном изменении управляющего воздействия)

2. при нулевых начальных условиях (₁(0)=0, М(0)=0) , нулевом моменте нагрузки (М_с=0) и единичном значении управляющего воздействия (₀ (0₊) из 10.2 получается уже известное нам выражение для переходной характеристики канал ₀ ₁.

Типовые, апериодические по характеру кривые изменения электромагнитного момента M(t) и скорости ₁(t) при скачкообразном возрастании управляющего воздействия ₀ и возмущения по моменту нагрузки Мс, соответствующие выражениям 8.1 и 8.2 представлены на рис. 8.1 а, б

 

 

Рис. 8.1, а, б.

Время переходного процесса определяется временем затухания самой “медленной” из экспоненциальных составляющих свободного процесса. В нашем случае _ >_ и потому время переходного процесса можно определить как t_п=3   _ . Отметим, что в переходном режиме могут иметь место всплески электромагнитного момента машины.

В частном случае при Т_э=0 поведение ЭМП будет определяться уравнениями

M =-  ₁+   ₀,

d ₁/dt= (1/  T_м) M -(1/  T_м) M_c

и следовательно,

d ₁/dt= -(1/ T_м)  ₁ +(1/ T_м)  ₀ -(1/  T_м) M_c

Учитывая, что  _1пр=  ₀ - M_c/ , решение уравнения получим в виде

 ₁(t)=  _1пр + [ ₁(0) -  _1пр}e ^-t/Tм (8.5)

Подставляя это выражение в уравнение моментов, получим

M(t) =-  ₁+   ₀= -  { _1пр +[ ₁(0) -  _1пр]e ^-t/Tм} +  ₀

Учитывая, что _1пр= ₀ - M_c/ , и следовательно  (₀ -_1пр) = M_с, окончательно получим

M(t)=M_c + [M(0₊) - M_c}e ^-t/Tм , где М(0₊)= [ ₀(0₊)-  ₁(0) ] (8.6)

Графики электромеханических процессов при скачкообразных изменениях управляющего и возмущающего воздействий представлены на рисунках 8.2, а и б.

Рис. 8.2, а, б.

С помощью этих рисунков можно пояснить смысл электромеханической постоянной времени обобщенного ЭМТ: Электромеханическая постоянная времени представляет собой время, за которое скорость ₁ вала преобразователя достигла бы установившегося значения, двигаясь равномерно ускоренно под действием постоянного динамического момента M(0₊). Такое ускорение равно M(0₊)/J .

Анализируя эти процессы, легко установить, что

а) они носят апериодический экспоненциальный характер и время протекания их определяется величиной Т_м (t_п= 3 Т_м)

б) скорость вращения меняется плавно без скачков из-за наличия электромеханической инерции

в) скачкообразное изменение управляющего воздействия приводит к скачкообразному изменению электромагнитного момента из-за отсутствия электромагнитной инерции.

Если среди n собственных чисел матрицы A имеется число s кратности S, составляющая матричной экспоненты, обусловленная этими числами в общем случае определяется формулой

C_s e ^st = (8.7)

Если все собственные числа матрицы А - вещественные и равные, то выражение 8.3 принимает вид

C_s e ^st = (8.8)

В нашем случае

 ₁,₂=- , где  = 1/2 T_э,

и потому из 8.8 следует. что

e ^At =

 

 

 

 

Реализуя формулу

Y(t)= e ^At +

получим

M{t}= +M_с (8.9)

 ₁(t)= + + _1пр (8.10)

Если собственные числа матрицы А - комплексно-сопряженные, т.е.

 ₁,₂=-  j _св, где  _св=  ₀²  ²,  = 1/2 T_э и  ₀= 1/T_мT_э,

матричная экспонента для системы второго порядка, в общем случае определяемая выражениями 8.1 и 8.2, приводится к виду

e ^At = [( 1+A)Sin _свt+1  _св Cos _свt]

Следовательно, для рассматриваемой системы

e ^At = 

 

 

 

Реализуя формулу

Y(t)= e ^At +

получим

M{t}= +M_{с (8.11)}

 ₁(t)= + + _{1пр (8.12)}

Графики процессов изменения электромагнитного момента и скорости при отработке скачкообразных возмущений по управлению и моменту нагрузки представлены на рис.8.3 а и б. Кривые отличаются от соответствующих кривых для случая вещественных корней только характером свободных составляющих. Все выводы относительно времени и качества процессов были сделаны при анализе переходных характеристик в соответствующем разделе.

Рис. 8.3, а, б.

АНАЛИЗ ДЕМПФИРУЮЩЕГО ДЕЙСТВИЯ ЭМП НА КОЛЕБАТЕЛЬНОСТЬ ЭМС С ДВУХМАССОВОЙ МОДЕЛЬЮ МЕХАНИЗМА

При решении любых задач нужно уметь оценить влияние упругих связей на динамику ЭМС. Здесь мы проведем анализ особенностей вза-имодействия ЭМП с линейной механической характеристикой с меха-низмом, представленным двухмассовой моделью в единой ЭМС.

Возьмем за основу систему “ЭМП- механизм”, описываемую уравнениями

dM/dt = ( / T_э)  ₀- ( / T_э) ₁ -(1/ T_э)M,

d ₁/dt= - (1/ J₁₎ M₁₂ +(1/ J₁₎ M -(1/ J₁) M_c1 ,

dM₁₂ /dt =C₁₂  ₁ - C₁₂  ₂,

d ₂/dt= (1/ J₂₎ M₁₂ - (1/ J₂) M_c2.

Если пренебречь электромагнитной инерцией ЭМП, т.е. предположить, что T_э =0 и рассматривать только свободное движение в системе ( ₀=0) , то первое уравнение системы превращается в алгебраическое и из него следует, что

M=-   ₁ .

Следовательно, при отсутствии электромагнитной инерции ЭМП создает воздействующий на первую массу механизма момент, аналогичный моменту вязкого трения ( момент, пропорциональный скорости). Значит, благодаря наличию электромеханической связи ЭМП должен оказывать на колебания в механической подсистеме демпфирующее воздействие, аналогичное действию сил вязкого трения.

Оценим такое воздействие в системе с J₂ >> J₁ при ₂  0 , что равносильно жесткой заделке второй массы. Такая система может быть описана парой уравнений

d ₁/dt= - (1/ J₁₎ M₁₂ +(1/ J₁₎ M -(1/ J₁) M_c1 ,

dM₁₂ /dt =C₁₂  ₁ - C₁₂  ₂ ,

с учетом принятых допущений принимающих вид

d ₁/dt= -( / J₁)  ₁ - (1/ J₁) M₁₂ -(1/ J₁) M_c1,

dM₁₂ /dt =C₁₂  ₁ - 0  ₂.

Матрица A, характеризующая свободное движение системы и характеристическое уравнение det ( 1 - A)=0 имеют вид соответственно

A=

и

.

Вводя понятие собственной резонансной частоты первой массы при жесткой заделке второй

,

перепишем характеристическое уравнение так

.

Следовательно, собственные числа системы определяются выражением

.

Анализируя последнее выражение, легко установить, что при жесткости  электромеханического преобразователя, отличной от нуля, свободное движение системы является принципиально затухающим. При условии

или   2 c₁₂

свободное движение в системе носит апериодический характер, поскольку собственные числа являются вещественными. При условии

или   2 c₁₂

собственные числа становятся комплексно-сопряженными и определяются выражением

 ₁,₂=-  j _св,

где  _св= _м1²  ²,  =  /2 J₁ и _м1= c₁₂/J₁.

Следовательно, свободная составляющая процесса носит колебательный затухающий характер с частотой свободных колебаний _св и экспоненциальной огибающей, обладающей постоянной времени 1/ =  /2J₁ . Логарифмический декремент затухания определяется выражением

 =  Tсв= 2  /   _м1²  ²

С ростом жесткости механической характеристики  ЭМП уменьшается время затухания, падает частота свободных колебаний. и возрастает логарифмический декремент затухания.

Зависимость  ( ) для рассматриваемого случая представлена кривой 1 на рис. 9.1. При увеличении  от 0 до некоторого значения _кр затухание колебаний постепенно увеличивается и при =_кр переходный процесс в системе приобретает апериодический характер ( = ) . Это значение равно _кр = 2 c₁₂

Рис. 9.1.

Таким образом, изменение жесткости механической характеристики ЭМП является эффективным средством изменения колебательности системы.

При конечных значениях J₂ и  =(J₁+J₂)/J₁ c ростом  в процесс колебаний вовлекается вторая масса, причем при  = (что соответствует жесткой заделке первой массы) колебания становятся незатухающими. Следовательно, если принять, что    , то в двухмассовой системе демпфирование должно уменьшаться и    . Несомненно , что существует такое значение   _макс, при котором декремент затухания достигает максимума  (_макс) = _макс (см. кривую 2 на рис.9.1.) Величина последнего зависит от конкретного сочетания параметров электромеханической системы. При предельно слабой электромеханической связи (  ) и при предельно сильной связи (  ) демпфирование отсутствует (  ).

Электромагнитная инерция ЭМП, характеризуемая постоянной времени T_э, также влияет на величину демпфирования, при этом и зависимость   T_э ) не является однозначной. Изменение T_э в определенных пределах позволяет увеличить  по сравнению с ранее рассмотренным случаем T_э=0.

 

ЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛЯТОРЫ

Поскольку основная задача регулятора - осуществлять регули-рующее воздействие с минимальной погрешностью, выбор и настройка этих устройств являются одной из наиболее важных проблем, стоящих перед инженером- электромехаником- разработчиком ЭМС.

Регулятор выполняет преобразование управляющего сигнала (t), соответствующее математическим операциям, требуемым по условиям работы системы регулирования. К типовым требуемым операциям относятся следующие: пропорциональное, интегральное, пропорцио-нально-интегральное, пропорционально-дифференциальное, пропор-ционально-дифференциально-интегральное и т.п.

Рассмотрим более подробно функциональные связи между регу-лирующим воздействием и ошибкой, которые используются в ЭМС. Эти функциональные связи называются законами регулирования. При этом будем полагать, что объекты управления являются статическими.