Лабораторные работы (2008) / Лабраторная работа 3 / Вычисление интеграла функции на отрезке по методу Симпсона (Ясенков)

Московский Энергетический Институт

(Технический Университет)

Кафедра Прикладной Математики

Отчет по лабораторной работе 3

«WinThreads»

Выполнил: Ясенков Е.М.

Группа: А-13-03

Москва 2008

Задание

Задана некоторая произвольная функция f, непрерывная на отрезке [a, b]. Написать программу параллельного вычисления интеграла функции f на [a, b] по методу Симпсона с точностью eps.

Алгоритм

Значение определенного интеграла

находится методом Симпсона (парабол). Отрезок [a, b] разбивается на n=2m частей x₀ =a, x₁ =a+h, ..., x_n =b с шагом h=(b-a)/n. Вычисляются значения y_i  = F(x_i ) функции в точках x_i  и находится значение интеграла по формуле Симпсона:

S = S_n +R_n , где

Затем количество точек разбиения удваивается и производится оценка точности вычислений:

R_n  = |S_2n -S_n |/15

Если R_n  > e, то количество точек разбиения удваивается. Значение суммы 2(y₁ +y₂ +...+y_2m-1 ) сохраняется, поэтому для вычисления интеграла при удвоении количества точек разбиения требуется вычислять значения y_i  лишь в новых точках разбиения.

Реализация

#include "stdafx.h"

#include "windows.h"

#include "math.h"

#include "conio.h"

#include "time.h"

#define THREADS 4 // определим количество потоков

#define eps 0.00000000001 //точность

#define a 0.0 //границы отрезка

#define b 10.0

int intervals; //начальное число точек разбиения

HANDLE hThreads[THREADS];//потоки

double PartIntegrals[THREADS]; //частичные суммы для каждого потока вычисления

DWORD dwThreadsIDs[THREADS];//идентификаторы потоков

double res1 = 0, res2 = 0, fPart = 0, nPart = 0, h; //целые и дробные индексы, шаг

double f(double x) { return (x*x*x*x*x*sin(x))+x; } //функция

DWORD WINAPI fPartCount(LPVOID num)

{ //вычисление значения функции в точках с дробными индексами

int i, thread = (int) num;

double x;

PartIntegrals[thread] = 0;

for(i = thread+1; i <= intervals; i += THREADS)

{

x = a + h * ((double)i - 0.5);

PartIntegrals[thread]+=f(x);

}

return 0;

}

DWORD WINAPI nPartCount(LPVOID num)

{ //вычисление значения функции в точках с целыми индексами

int i, thread = (int) num;

double x;

PartIntegrals[thread] = 0;

for(i = thread+1; i < intervals; i += THREADS)

{

x = a + h * i;

PartIntegrals[thread]+=f(x);

}

return 0;

}

void Solve(double & res)

{ //вычисление интеграла

int i; //считаем часть интеграла c дробными индексами

for(i=0; i<THREADS; i++) PartIntegrals[i] = 0;

for(i=0; i<THREADS; i++) //создаем потоки

{

hThreads[i] = CreateThread(NULL, 0, fPartCount, (void *)i, 0, &dwThreadsIDs[i]);

if(hThreads[i] == NULL) printf("Error while creating thread");

}

WaitForMultipleObjects(THREADS, hThreads, TRUE, INFINITE);

for(i=0; i<THREADS; i++) CloseHandle(hThreads[i]);

fPart = 0; //частичная сумма

for(i=0; i<THREADS; i++) fPart+=PartIntegrals[i];

for(i=0; i<THREADS; i++) PartIntegrals[i] = 0;

for(i=0; i<THREADS; i++) //считаем часть интеграла с целыми индексами

{ //создаем потоки

hThreads[i] = CreateThread(NULL, 0, nPartCount, (void *)i, 0, &dwThreadsIDs[i]);

if(hThreads[i] == NULL) printf("Error while creating thread");

}

WaitForMultipleObjects(THREADS, hThreads, TRUE, INFINITE); //ждем завершения

for(i=0; i<THREADS; i++) CloseHandle(hThreads[i]); //завершаем потоки

nPart = 0; //частичная сумма

for(i=0; i<THREADS; i++) nPart+=PartIntegrals[i];

res = (f(a) + fPart * 4 + nPart * 2 + f(b)) * h / 6.0; //считаем весь интеграл

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

int steps = 0;

double time;

clock_t start, finish;

start = clock(); //время начала

intervals = THREADS;

h = (b-a)/(double)(intervals);

Solve(res1);

do

{

if(steps != 0) res1 = res2;

steps++;

intervals = intervals * 2;

h = h / 2.0;

Solve(res2);

printf("Integral = %.15f\n", res2);

}

while (fabs(res1 - res2)/15.0 > eps);

finish = clock(); //время окончания подсчета

time = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;

FILE * f = fopen(".\\Result.txt", "w");

printf( "\nResult = %.15f\nSteps = %d\nThreads number = %d \nTime = %f\n", res2, steps, THREADS, time);

fprintf(f, "\nResult = %.15f\nSteps = %d\nThreads number = %d \nTime = %f\n", res2, steps, THREADS, time);

fclose(f);

getch();

return 0;

}

Тестирование

Процессор: AMD Athlon XP Barton 2500+ 1.83 Ghz

Памать: 2x1024 DDR3200

ОС: Windows XP SP3 rc1

Зависимость времени вычисления интеграла от количества процессов

0,297	0,266	0,235	0,172	0,250	0,281	0,282	0,329	0,359	0,547
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Вывод

Как видно из графика, с увеличением числа потоков от 1 до 4, время вычисления интеграла уменьшается. Если продолжить вычисления увеличивая число потоков, то время вычисления начинает сильно повышаться, и при количестве потоков больше 7, использование WinThreads не приносит увеличения производительности. Наибольшая производительность (40%) получена на 4 потоках. Результаты тестирования могу существенно отличаться на машине с другим процессором (например двуядерным).

4