12 Игры с полной информацией. Нормальная форма представления игры. Пример.

Игра с полной информацией — термин теории игр, обозначающий логическую игру, в которой для соперников отсутствует элемент неопределённости.

Не вполне строго, но практически можно считать, что игра является игрой с полной информацией, если:

• игроки воздействуют на игровую ситуацию дискретными действиями — ходами, порядок ходов определён правилами и не зависит от таких параметров, как скорость реакции игроков (то есть очередной ход делает тот, кто должен его сделать по правилам, а не тот, кто первым догадался или успел его сделать);

• в любой момент игры все игроки имеют полную информацию о состоянии игры, то есть о позиции и всех возможных ходах любого из игроков.

Если, к тому же, ни в каких аспектах игры (правилах, возможности или очерёдности ходов, определении момента завершения игры или результата) не участвует элемент случайности, такая игра будет ещё и детерминированной.

Для любой детерминированной игры с полной информацией, теоретически, можно просчитать всё дерево возможных ходов игроков и определить последовательность ходов, которая гарантированно приведёт по крайней мере одного из них к выигрышу или ничьей, то есть всегда может быть построен алгоритм выигрыша или сведения игры вничью по крайней мере для одной из сторон.

К играм с полной информацией относится большинство детерминированных настольных игр (например, шахматы, шашки, го, рэндзю, сянци, сёги, крестики-нолики, реверси, манкала, точки). Для большинства из них, однако, алгоритм выигрыша или гарантированной ничьей неизвестен: хотя теоретически он существует и может быть найден, на практике дерево вариантов слишком велико, чтобы его можно было построить и проанализировать за приемлемое время.

К недетерминированным играм с полной информацией относится, например, нарды. Не являются играми с полной информацией такие игры, как маджонг, кригшпиль, большинство карточных игр.

Нормальная форма представления игры. Пример.

В теории игр, игра в нормальной форме (или стратегической форме) состоит из трех элементов: множества игроков, множества чистых стратегий каждого игрока, множества платежных функций каждого игрока. Таким образом, игру в нормальной форме можно представить в виде n-мерной матрицы (таблицы), элементы которой это n-мерные платежные вектора. Эта таблица называется платёжная матрица.

Формальное определение

Игрой в нормальной форме называется тройка {\displaystyle G=\left\langle P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} \right\rangle } , где

{\displaystyle P=\{1,2,\ldots ,m\}}  — множество игроков

{\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m}\}} — множество множеств чистых стратегий каждого игрока,

{\displaystyle \mathbf {F} =\{F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}\}} — множество функций платежей для каждого игрока.

У каждого игрока {\displaystyle i\in P}  имеется конечный набор чистых стратегий {\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,n_{i}\}}  и функция полезности (функция платежа) {\displaystyle F_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{m}\rightarrow \mathbb {R} } .

Исход игры — это комбинация чистых стратегий каждого игрока:

{\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{m})}

где {\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{m}\in S_{m}} .