3. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости

Любую синусоидальную функцию, например , можно изобразить вращающимся вектором при соблюдении следующих условий:

1. Длина вектора в масштабе равна амплитуде функции Im;

2. Начальное положение вектора при t=0 определяется начальной фазой ;

3. Вектор равномерно вращается с угловой скоростью w, равной угловой частоте.

15.10.2012

Рис 16

За направление вращения вектора ω принимается вращение против часовой стрелки.

Из курса математики известно, что комплексное число с можно представить в показательной и алгебраической форме.

c-модуль комплексного числа, - мнимая часть комплексного числа.

Соотношение между коэффициентами различных форм комплексного числа вытекает из формулы Эйлера:

Рис 17

Так как синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор представить комплексным числом, то синусоидальные токи и напряжения могут быть представлены комплексными числами:

При расчёте цепей возникает необходимость выполнения различных математических операций с синусоидальными функциями. Для удобства их заменяют комплексными величинами и выполняют те же операции c комплексными числами. Рис 18

Умножение и деление комплексных чисел может выполняться, как в алгебраической, так и в показательной форме.

7. Резистивные, индуктивные и ёмкостные элементы

1. Резистивные Из закона Ома для резистора Rследует, что отсюда следует, что резистор не изменяет фазу тока относительно напряжения

2. Индуктивные Ток и напряжение на зажимах катушки связаны между собой законом электро-магнитной индукции:

-индуктивное реактивное сопротивление катушки.

То есть, в цепи с катушкой ток отстаёт от напряжения на угол 90.

Рис 19

3. Ёмкостные Пусть к идеальному конденсатору C приложено переменное напряжение , ток и напряжение на зажимах конденсатора связаны между собой законом сохранения заряда, то есть

22.10.12

Рис. 20

8. Треугольник сопротивлений

Рис. 21

Основными знаками цепей синусоидального тока является закон Ома и 2 закона Кирхгофа:

– закон Ома в комплексной форме

– 1-й закон Кирхгофа в комплексной форме

– 2-й закон Кирхгофа в комплексной форме

1. Электрические цепи с последовательным соединением r,l,c

Рис. 22

Пусть в схеме протекает ток .

По второму закону Кирхгофа:

Где

Рис. 23

Т.к нагрузка носит ёмкостной характер (если идёт в сторону - , то с отрицательным знаком)

2. Электрические цепи с параллельным соединением r,l,c

Рис. 24

Пусть на входе в схему действует напряжение переменное .

По первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

То же уравнение в комплексной форме:

–комплексная проводимость

– активная проводимость

– реактивная индуктивная проводимость

– реактивная ёмкостная проводимость

Единица измерения проводимости: =

Если положительный, то тоже положительный, если отрицательный, то – отрицательный.

Рис. 25

3. Разветвлённая цепь синусоидального тока с одним источником питания (смешанная)

Рис. 26

29.10.12

Рис 27.

9. Мощность синусоидального тока

В электрической цепи, состоящей из L, R, C одновременно происходят два процесса:

1. Необратимый процесс преобразования электрической энергии источника в другие виды энергии (тепловую, механическую и др.), которые называются активными. Количество энергии, преобразуемое за единицу времени, называется активной мощностью:

2. Обратимый процесс энергии между источником и реактивными элементами цепи L, C, который называет реактивным. Интенсивность этого обмена характеризуется реактивной мощностью: . Реактивная мощность индуктивного характера положительная ( , а емкостного характера ( ) отрицательная.

3. В технике используется понятие полной мощности, которая не имеет физического смысла и определяется по формуле: Мощности S, P и Q образуют прямоугольный треугольник.

S

Q

P

В соответствии с законом сохранения энергии в цепи переменного тока должен выполняться баланс мощности.

– коэффициент активной мощности;

Реактивная мощность потребителя приводит к снижению Естественный Большое потребление реактивной мощности существенно повышает потери в питающих сетях и удорожает передачу электроэнергии потребителю.

Потребление реактивной мощности снижают с помощью организационно-технических мероприятий и путём компенсации реактивной мощности. Так как большинство промышленных потребителей имеет активно-индуктивный характер нагрузки (электродвигатели, трансформаторы, сварка и др.), то для компенсации реактивной мощности и повышения параллельно потребителям подключают батарею конденсаторов, регулируя ёмкости. Реактивная ёмкость конденсатора уменьшает реактивную мощность потребителя и повышает .

Рис 28.

Повышение коэффициента мощности приводит к снижению тока в линиях электропередачи, что позволяет снизить потери в линиях, уменьшает сечение соединительных проводов и сечения обмоток силовых трансформаторов. Повышение приводит к снижению полной мощности источника, что позволяет подключать к данному источнику дополнительных потребителей.

Организационно-технические мероприятия, направленные на снижение потребления реактивной мощности и повышение :

1. Уменьшение времени работы ЭД в режиме холостого хода.

2. Замена малозагруженных асинхронных двигателей и трансформаторов двигателями и трансформаторами меньшей мощности.

3. Приведение технологического процесса к равномерной загрузке оборудования в течении всего рабочего времени, так как при малой загрузке электрооборудования и асинхронных двигателей коэффициент реактивной мощности резко возрастает.

4. Замена, где это возможно, асинхронных двигателей ( ) синхронными ( ).