7.2. Расчёт на поперечный изгиб

Возьмём три деревянные балки, у которых нагруз­ки, пролёты и поперечные сечения одинаковы (рис. 7.l,a). Пусть нагрузка этих балок равномерно распределенная.

¹ См. работы В. Г. Писчикова, А. Р. Ржаницына, П. Ф. Плешкова, Г. В. Свенцицкого, В. М. Коченова и др.

Рис. 7.l. Балки, работающие на поперечный изгиб Ц — цельного сечения; П — составного сечения на податливых связях; О — составного сечения без связей; а — общий вид балок; б — деформации опор балок под нагрузкой; в — прогибы балок под нагрузкой.

Первая балка цельного сечения, т. е. состоит из одного бруса. Назовем эту балку Ц. Момент инерции поперечного сечения балки J_ц = bh³/12; момент сопротив­ления W_ц = bh²/6; прогиб f_ц = 5q⁴/384EJ_ц.

Вторая балка П составного сечения состоит из двух брусьев, соединенных с помощью податливых связей, например болтов. Моменты инерции и сопротивления её соответственно будут J_п и W_п; прогиб f_п.

Третья балка О составного сечения состоит из таких же двух брусьев, как вторая балка, но здесь связей не поставлено и поэтому оба бруса будут работать само­стоятельно. Момент инерции третьей балки J_o =bh³/48, что в 4 раза меньше, чем балки цельного сечения. Мо­мент сопротивления W_o =bh²/12, что в 2 раза меньше, чем балки цельного сечения. Прогиб f_o =5q⁴/384 EJ₀ , что в 4 раза больше, чем прогиб балки цельного сече­ния (рис. 7.1, в).

Рассмотрим, что будет происходить на левой опоре балки при деформировании её под нагрузкой. Левая опо­ра балки цельного сечения повернётся на угол  (рис. 7.1,б), а у балки составного сечения без связей кроме поворота на левой опоре произойдет сдвиг δ_о верхнего бруса относительно нижнего.

В составной балке на податливых связях сдвигу брусьев будут препятствовать болты, поэтому он здесь меньше, чем в балке без связей. Следовательно, состав­ная балка на податливых связях занимает промежуточ­ное положение между балкой цельного сечения и состав­ной балкой без связей. Поэтому можно написать:

J_ц > J_п > J_о;

W_ц > W_п > W_о;

f_ц < f_п < f_о.

Из этих неравенств следует, что геометрические ха­рактеристики составной балки на податливых связях Jn, Wп можно выразить через геометрические характе­ристики балки цельного сечения, умноженные на коэф­фициенты меньше единицы, которые учитывают подат­ливость связей:

J_п=k_жJ_ц ,

где k_ж меняется в пределах от 1 до J_о/J_ц, в частности при двух брусьях J₀ /J_ц =0,25;

W_п=k_wW_ц ,

где k_w меняется в пределах от 1 до W_q/W_ц , например при двух брусьях W_о /W_ц =0,5.

Прогиб балки увеличивается соответственно умень­шению момента инерции:

f_п =f_ц/k_ж .

Расчёт составной балки на податливых связях сво­дится, таким образом, к расчёту балки цельного сече­ния с введением коэффициентов, учитывающих подат­ливость связей. Нормальные напряжения определяют по формуле

_и = M/W_цk_w<R_и , (7.1)

где W_ц — момент сопротивления составной балки как цельной; k_w — коэффициент, меньший единицы, учитывающий податливость связей.

Прогиб составной балки на податливых связях опре­деляют в общем случае по формуле

f_n=kP_нl²>/EJ_цk_ж<f_np, (7.2)

где J_ц — момент сопротивления балки как цельной; k_ж — коэффици­ент, меньший единицы, учитывающий сдвиг, вызванный податли­востью связей.

Значения коэффициентов k_w и k_ж приводятся в СНиП П-25-80 «Деревянные конструкции. Нормы проектиро­вания».

Количество связей определяют расчётом на сдвига­ющие усилия. Сдвигающее усилие Т по всей ширине балки, равное τb, вычисляют по формуле T=QS/J.

Распределение сдвигающих усилий по длине анало­гично распределению касательных напряжений и показа­но на рис. 7.2 в виде прямой, проходящей под углом к горизонтали. Усилия Т (Н/м) на эпюре являются орди­натами. Полное сдвигающее усилие балки на участке от опоры до точки, где Т=0, будет геометрически равно площади треугольника ABC. В нашем случае при рав­номерно распределенной нагрузке Т = 0, если х= /2, и тогда полное сдвигающее усилие, Н

В составной балке на податливых связях значение полного сдвигающего усилия остается постоянным.

Однако из-за податливости связей изменится характер распределения сдвигающих усилий по длине балки. В результате сдвига брусьев треугольная эпюра прев­ратится в криволинейную, близкую к косинусоиде AFC (см. рис. 7.2). Если связи размещать по длине балки равномерно, то каждая связь может воспринять сдвига­ющее усилие, равное её несущей способности Т_с, а все они должны воспринять полное сдвигающее усилие. Та­ким образом n_cT_c=M_maxS/J.

Работа такого количества связей (см. рис. 7.2) будет соответствовать прямоугольнику ADEC, т. е. связи, на­ходящиеся около опор, будут перегружены. Следова­тельно, при расчёте количества связей должны быть со­блюдены два условия:

3. число равномерно поставленных связей на участке балки от опоры до сечения с максимальным моментом должно воспринять полное сдвигающее усилие

n_c = M_maxS/JT_{c ;} (7.3)

4. связи, поставленные около опор, не должны быть перегружены.

Для соблюдения второго условия количество связей надо увеличить так, чтобы их работа соответствовала прямоугольной эпюре AFGC. Так как площадь ADEC= —AD/2 должна по первому условию быть равна пло­щади AFC(2/3)AF(/2), то AD/2=(2/3)AF(/2), от­куда AF= 1,5 AD.

Связи около опор перегружены в 1,5 раза, поэтому для соблюдения второго условия надо увеличить их чис­ло в 1,5 раза. Таким образом, требуемое количество свя­зей на участке балки от опор до сечения с максималь­ным моментом будет

(7.4)