4.5. Косой изгиб

Косым называется изгиб, при котором направление действия усилия не совпадает с направлением одной из главных осей поперечного сечения элемента (рис. 4.7, а). В этом случае действующее усилие раскладывают по направлению

Рис. 4.7. Изгиб, при котором направление действия усилия не сов­падает с направлением одной из главных осей поперечного сечения элемента

а — разложение нагрузки при косом изгибе элемента прямоугольного попе­речного сечения; б — определение наибольшего расстояния от оси до наибо­лее удаленной точки элемента квадратного поперечного сечения

главных осей сечения, затем на­ходят изгибающие моменты, действующие в этих плос­костях.

Нормальные напряжения находят по формуле

_и=M_x/W_x+M_y/W_yR_и , (4.22)

где М_х, М_у — изгибающие моменты, например при равномерно рас­пределенной нагрузке от q_x и q_y.

П олный прогиб равен геометрической сумме проги­бов от усилий q_x и q_y:

(4.23)

Д ля прямоугольного сечения наименьшее значение площади поперечного сечения при косом изгибе будет при условиях расчёта: по прочности, если h/b = ctg a; по прогибу, если .

Следует иметь в виду, что элемент, имеющий квад­ратное поперечное сечение, на косой изгиб не работает, так как он всегда деформируется в плоскости действия усилия. Однако формально напряжения в нем определя­ют по формуле косого изгиба:

_и = M_x + M_y/W  R_и. (4.24)

Происходит это по следующей причине. Напишем основную формулу для определения напряжений при из­гибе

_и= (M/J)y, (4.25)

где J — момент инерции, являющийся для квадратного сечения постоянным для любой оси; у — расстояние от оси элемента до наибо­лее удалённой точки (рис. 4.7, б) у= (d/2)sin (45 +а).

Если учесть, что d/2 = a/2; sin (45+а) =sin 45 cos а + cos 45 sin а, то, подставив эти значения в форму­лу для у, и произведя несложные вычисления, получим

у = а/2 (sin а + cos а). (4.26)

Подстановка значения у из (4.26) в формулу (4.25) даст формулу (4.24).

При косом изгибе увеличиваются размеры прогонов прямоугольного сечения, поэтому надо конструктивными мерами исключать работу элементов на косой изгиб. Так, например, применительно к кровельному покрытию можно исключить работу прогонов на косой изгиб, вос­принимая скатную составляющую вспомогательными стропильными ногами, расположенными по прогонам и скрепленными с ними, а также соединенными друг с другом в коньке здания.

4.6. Сжато-изгибаемые элементы

Сжато-изгибаемыми элементами называются такие, на которые действует изгибающий момент и централь­но приложенное продольное сжимающее усилие. Изги­бающий момент может создаваться: а) внецентренно приложенной сжимающей силой и тогда элемент назы­вают внецентренно сжатым или б) поперечной нагруз­кой. При расчёте сжато-изгибаемых деревянных стерж­ней применяют теорию краевых напряжений, предложен­ную проф. д-ром техн. наук К. С. Завриевым. В соответст­вии с этой теорией несущая способность стержня счита­ется исчерпанной в тот момент, когда краевое напряжение сжатию делается равным расчётному сопротивлению.

Эта теория менее точная, чем теория устойчивости, однако она даёт более простое решение и поэтому при­нята в действующих нормах проектирования СП 64.13330.2011 и СНиП II-25-80.

Так как жёсткость стержня не является бесконечной, то он под влиянием изгибающего момента прогибается.

Рис. 4.8 Прогибы сжато-изгибаемого элемента у — полный прогиб элемента при х= от 0 до ; fq —максимальней прогиб элемента от поперечной нагрузки q; fq,N — максимальный полный прогиб элемента с учётом дополнительного момента от про­дольной силы.

При этом центрально приложенная сжимающая сила теперь уже будет иметь эксцентриситет, равный дефор­мации стержня от момента, и таким образом создаст дополнительный момент (рис. 4.8). Появление допол­нительного момента от нормальной силы увеличит де­формацию стержня, что приведёт к еще большему воз­растанию дополнительного момента. Такое наращивание дополнительного момента и прогибов будет некоторое время продолжаться, но затем затухнет.

Полный прогиб стержня и уравнение кривой неизве­стно, поэтому непосредственно по формуле краевых на­пряжений нельзя найти эти напряжения:

_С = N/F + M_q/W + Ny_max/W, (4.27)

где M_q — изгибающий момент от поперечной нагрузки; у— деформа­ция стержня.

Полный изгибающий момент стержня

М_х = M_q + Ny. (4.28)

Так как в двух написанных уравнениях есть три неиз­вестных _с, у, М_х, то следует найти еще одно уравнение. Всякую кривую можно аналитически выразить в виде ряда, который при этом должен быть быстро сходящим­ся и удовлетворять краевым значениям. Таким является тригонометрический ряд

у = f₁ sin π x/ +f₂ sin 2πх/ + f₃ sin Зπх/ +••• .

Геометрическая интерпретация ряда показана на рис. 4.9. Как видно, f_i есть максимальная ордината кривой каждого члена ряда.

При симметричной нагрузке первый член ряда дает точность, равную 95—97 %. Для упрощения решения бу­дем считать нагрузку симметричной. Тогда можно огра­ничиться только первым членом ряда

у = f₁ sin (πx/). (4.29)

Рис. 4.9 Геометрическая ин­терпретация разложения в три­гонометрический ряд f₁ sin (nπx/)

1, 2, 3 — номера членов ряда;

f₁, f₂, f₃ -- максимальные ординаты членов ряда.

Однако третье уравнение принесло четвёртое неизвест­ное f₁. Поэтому вспомним строительную механику, где было показано, что вторая производная у" уравнения кривой деформирования равна изгибающему моменту, деленному на жёсткость с обратным знаком, т. е.

d²y/dx² = — M_X/EJ. (4.30)

Тогда после дифференцирования уравнения кривой по­лучим

(4.31)

Приравняв значения (4.31) и (4.30) получим

(4. 32)

Теперь значение М_х из (4.32) и у из (4.29) под­ставим в выражение (4.28) и после преобразования, имея в виду, что π²EJ/ ² = N_кр, a sin(πx/) при х = /2, где при симметричной нагрузке будет находиться мак­симальная ордината прогиба y_max=f₁, равен единице, получим, что

f₁ = M_q/(N_KP-N). (4.33)

Найденная зависимость позволяет решить вопрос об определении напряжений. Для этого значение f₁=y_max из (4.33) надо подставить в выражение (4.27):

_с = N/F + M_q/W + NM_q/(N_кр — N)W. (4.34)

После преобразований и уточнения F и W на F_расч и W расч

_с = N/F_расч + M_q/W_расч (1 - N/N_кр). (4.35)

Коэффициент, учитывающий дополнительный момент от продольной силы при деформации стержня, приме­ним при значениях от 1 до 0, =1—N/N_Kp, где N_Kр=RF_бр, поэтому можно уравнение (4.35) написать в виде

_с = N/F_расч + М_деф/W_расч < R_c, (IV. 36)

где

М_деф = М_q/ , а = 1-²N/3000F_брR_с.

При несимметричном нагружении

M_деф ⁼ М_сим/_сим +М_об.сим/_об.сим.

где _сим и _об.сим - коэффициенты, определяемые при значениях гибкостей, соответствующих симметричной и обратно симметричной формам продольного изгиба. В связи с тем, что значение  при вычислении значения  всегда определяется как 3000/², то при малых изгибных напряжениях M_q/W_расч, не превышающих 10 % сжимающих напряжений N/F_бр, работа стержня будет близка к условиям продольного изгиба и формула (4.36) даст неправильный результат. В этом случае стержень надо рассчитывать на продольный изгиб без учёта изгибающего момента по формуле (4.11). Попе­речная сила сжато-изгибаемого элемента будет больше, чем у такого же элемента при наличии только попереч­ной нагрузки:

(4.37)

При определении прогиба сжато-изгибаемого эле­мента следует также учитывать влияние дополнитель­ного момента, поэтому

f = k (P_Hl³/EJ). (4.38)

С жато-изгибаемый элемент должен быть также про­верен на устойчивость плоской формы деформирования по формуле

(4.39)

где F_бр — площадь брутто с максимальными размерами сечения эле­мента на участке _р ; W_бр — максимальный момент сопротивления брутто на участке _р ; n = 2 для элементов без закрепления растянутой зоны из плоскости деформирования и n =1 для элементов, имеющих такие закрепления; _y — коэффициент продольного изгиба, определяемый по формуле А/λ² для гибкости участка элемента расчетной длиной _р из плоскости деформирования; _м — коэффициент, определяемый по формуле (4.18).

При наличии в элементе на участке _р закреплений из плоскости деформирования со стороны растянутой от момента М кромки коэффициента _м следует умножать на коэффициент k_nM , определяемый по формуле (4.19), а коэффициент _у — на к оэффициент по формуле

(4.40)

где а_р, _Р, h, m — имеют прежние значения, указанные при опре­делении _м.