4.4. Изгибаемые элементы

Изгибаемые элементы рассчитывают по первому и второму предельным состояниям, или иначе на прочность и жёсткость. В расчёте по первому предельному состоя­нию используют расчётную нагрузку, а при определении прогиба нормативную нагрузку, т. е. без учёта коэффи­циента перегрузки.

Расчёт деревянных элементов на изгиб по нормаль­ным напряжениям производят приближенно. При более точном методе потребовался бы учёт различных значе­ний модулей упругости в сжатой и растянутой зонах (рис. 4.5). Из этого рисунка видно, что в сжатой зоне развиваются большие пластические деформации, кото­рые нарушают прямолинейность распределения нормаль­ных напряжений по высоте сечения. Таким образом, нормальные напряжения определяют при двух допущени­ях: во-первых, считается, что модули упругости в растя­нутой и сжатой зонах равны, т.е. Е_С = Е_Р, и во-вторых, принимается прямолинейное распределение напряжений по высоте элемента, как это показано на рис. 4.6.

Рис. 4.5. Относительная приведенная (напряжения в долях от Rпч , а деформа­ции в %) диаграмма рабо­ты древесины при растяже­нии и сжатии 1 — при растяжении (модуль упругости tg ); 2 — при сжатии (модуль упругости tg α)	Рис. 4.6. Распределение нор­мальных напряжений по высоте поперечного сечения при попереч­ном изгибе балки

При этих допущениях нормальные напряжения в эле­ментах, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования:

_и = M/W_HTm_б  R_и . (4.12)

При определении W_НТ ослабления сечений, располо­женные на участке длиной 200 мм, совмещаются в одно сечение; m_б — коэффициент, учитывающий размеры се­чения.

Прочность проверяют в сечении, где действуют наи­большие изгибные напряжения и, кроме того, в тех сече­ниях, в которых имеются ослабления. При расчёте брёвен следует учитывать «сбег» бревна, который принима­ют 0,8 см на 1 м длины. Следует иметь в виду, что брёв­на обладают большей прочностью на изгиб, в связи с чем их расчётное сопротивление изгибу больше, чем у досок и брусьев. Это связано с тем, что в брёвнах нет перерезанных волокон, которые даже при наличии ко­сослоя имеют длину от одной опоры до другой и, кроме того, пороки имеют в бревнах меньшее влияние.

Известно, что Д. И. Журавским было установлено наличие в элементах, работающих на поперечный изгиб, не только нормальных, но также и касательных напря­жений, поэтому разрушение элемента может произойти как от нормальных, так и от касательных напряжений в зависимости от того, какие из них раньше достигнут предела прочности. Касательные напряжения особенно опасны, например, при больших сосредоточенных гру­зах, расположенных недалеко от опор, или в балках двутаврового сечения.

В однопролётных элементах прямоугольного попереч­ного сечения, загруженных равномерно распределённой нагрузкой, разрушение от касательных напряжений бу­дет происходить при сравнительно небольшом отноше­нии длины к высоте поперечного сечения.

Такие отношения можно установить следующим об­разом: так как M_max = ql²/8; W=bh²/6; Q = ql/2; S = bh²/8, и J = bh³/12, то будем иметь:

R_и = 6ql²/8bh² откуда b = 3ql²/ 4h²R_и; (4.13)

R_CK = 12qbh²/16b²h³, откуда b = 3ql/4hR_ск . (4.14)

Приравняв (4.13) к (4.14), после сокращения по­лучим

l/h = R_и/R_ск . (4.15)

Например, для пп. la, б, в (см. табл. IV. 1) получим значения отношений, показанных в табл. (4.5).

На прочность от касательных напряжений проверяют по формуле

τ = QS/bJ_бр < R_ск, (4.16)

где Q — расчётная поперечная сила; S — статический момент брут­то сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси; J_бр — момент инерции брутто; b - ширина сечения; R_ск- расчётное сопротивление сдвигу.

Таблица 4.5. Отношение l/h для элементов прямоугольного сечения, загруженных равномерно распределенной нагрузкой в однопролётных схемах, при котором дальнейшее уменьшение будет приводить к разрушению от касательных напряжений

Характеристика элементов	Сорт древесины
	I	II	III
Изгиб неклееных элементов:
высотой до 50 см (кроме указанных	7,78	8,12	5,31
в пп. б, в)
шириной свыше 11 до 13 см	8,33	8,75	6,25
при высоте сечения свыше 11 до
50 см
шириной свыше 13 см при высоте	8,89	9,37	6,87
сечения свыше 13 до 50 см

Помимо расчёта на прочность изгибаемые элементы, особенно при их малой ширине, проверяют также на ус­тойчивость плоской формы деформирования:

_и = М/_мW_брR_и , (4.17)

где М — максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке _Р; W_бр — момент сопротивления брутто; _м — коэффициент устойчивости изгибаемых элементов, шарнирно закрепленных от сме­щения из плоскости изгиба и, закрепленных от поворота в опорных сечениях, определяемый по формуле

_м = 140 (b²/_рh) k_ф k_пм; (4.18)

b, h — ширина и высота поперечного сечения элемента; _р — рас­стояние между опорными сечениями элемента, а при закреплении сжатей кромки элемента в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба — расстояние между этими точками; k_ф— коэф­фициент, зависящий от формы эпюры моментов на участке _р , и оп­ределяемый в соответствии с формулами, приведенными в табл. 4.6; k_пм — коэффициент, который вводят при подкреплении из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки элемента на участке _Р и определяют по формуле

k_пм = 1 + [0,142 _р/h + 1,76 h/_p + 1,4 α_р -1] т² /т² + 1; (4.19)

а_Р — центральный угол, рад определяющий участок _р элемента кругового очертания (для прямолинейных элементов а_р=0); m - число подкрепленных (с одинаковым шагом) точек растянутой кромки на участке _р (кроме крайних точек). При m4 значение m² /m² +1, следует принимать 1.

Таблица 4.6

Как указывалось ранее, изгибаемые элементы прове­ряют по второму предельному состоянию на жёсткость по формуле

f_o=k P_н ³/EJ_бр , (4.20)

Для элементов из пластмасс, имеющих малый модуль упругости или для высоких деревянных элементов, у ко­торых отношение пролёта к высоте превышает 15, необ­ходимо учитывать влияние на прогиб касательных на­пряжений. В этом случае прогиб следует находить по формуле

f = f₀[1+с(h/)²], (4.21)

где fо — прогиб без учета деформаций сдвига, вычисляемый по (4.20); с — коэффициент, определяемый по табл. 4.7.

Т аблица 4.7

Прогибы элементов не должны превышать предель­ных, установленных СП 64.13330. 2011 для каждого вида конструк­ции. Предельные прогибы конструкций, выраженные в долях пролёта, приведены в табл. 4.8.

Т аблица 4.8. Предельные прогибы