1. Нормальное распределение

a) По данным варианта №15 (рисунок 1) из папки «Нормальное распределение» для случайной величины рассчитаем статистические оценки:

Объем выборки: N = 984.

Среднее значение рассчитаем с помощью функции СРЗНАЧ( .. ):

Стандартное отклонение найдем при помощи функции СТАНДОТКЛОН.В( .. ): S = 13,46423139.

Выборочную дисперсию рассеяния посчитаем, воспользовавшись функцией ДИСП.В( .. ): S²{x} = 181,2855269.

Медиану найдем с помощью функции МЕДИАНА( .. ): Мd = 15,5485.

Межквартильный интервал найдем как разность между третьим и первым квартилем с помощью функции: КВАРТИЛЬ.ВКЛ( .. ; 3) - КВАРТИЛЬ.ВКЛ( .. ; 1) = 18,2985.

Рисунок 1. Данные варианта №13

b) Для построения гистограммы распределения, сначала найдем число интервалов ( K = [1 + 3,2 · lg N] = 11), максимальное (x_max­ = 66,258) и минимальное (x_min = -24,258) значения выборки и ширину интервала (δx = (x_max­ - x_min) / N=

=8,228727273).

Далее построим таблицу:

Таблица 1

		Nфj		pj	Nтj
	-29,7205223	0
-25,6061587	-21,4917950	2	0,00203252	0,002590171	2,548728623	0,118138549
-17,3774314	-13,2630678	15	0,015243902	0,013238183	13,02637249	0,299024578
-9,14870417	-5,03434054	41	0,041666667	0,047054186	46,30131931	0,606980252
-0,91997690	3,194386733	129	0,131097561	0,116371211	114,5092712	1,83374865
7,30875037	11,42311401	184	0,18699187	0,200321685	197,1165382	0,872801314
15,53747764	19,65184128	231	0,234756098	0,240073503	236,2323269	0,115891187
23,76620492	27,88056855	203	0,206300813	0,200321685	197,1165382	0,175607402
31,99493219	36,10929582	120	0,12195122	0,116371211	114,5092712	0,26328089
40,22365946	44,3380231	42	0,042682927	0,047054186	46,30131931	0,399585759
48,45238673	52,56675037	15	0,015243902	0,013238183	13,02637249	0,299024578
56,68111401	60,79547764	1	0,00101626	0,002590171	2,548728623	0,941081105
64,90984128	69,02420492	1	0,00101626	0,000352251	0,34661537	1,231657655

В первый столбец таблицы запишем середины интервалов, а во второй границы интервалов. Далее подсчитаем количество элементов выборки N_фj, попавших в каждый интервал, воспользовавшись функцией ЧАСТОТА в матричном виде и занесем в третий столбец таблицы. Затем находим по формуле υ_к = N_фj / N относительные частоты (четвертый столбец). В пятом столбце таблицы рассчитываются теоретические вероятности p_j попадания x в заданный интервал с помощью функции НОРМ.РАСП. В шестой столбец заносим теоретические частоты, которые находим по формуле N_Тj = p_j · N. В седьмой столбец заносим значения статистики Пирсона.

Строим гистограмму распределения как зависимость N_фj и N_Тj от x (рисунок 2):

Рисунок 2. Гистограмма распределения

с) Выполним проверку на нормальность распределения с помощью критерия согласия Пирсона.

Экспериментальное значение статистики Пирсона находим по формуле , как сумма значений последнего столбца таблицы 1: χ² = 7,15682.

Число степеней свободы равно K – 2 – 1 = 8. При уровне значимости 0,05 критическое значение статистики Пирсона, рассчитанное с помощью функции ХИ2.ОБР(0,95; 8), равно: χ²_крит (0,95; 8) = 15,5073.

Так как χ² < χ²_крит­ , то гипотеза о нормальном распределении принимается.

d) Определим доверительный интервал наблюдения математического ожидания.

Найдем значения t-статистики Стьюдента при уровне значимости α/2 = 0,025 с помощью функции СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975; N-1): t (0,975; 984) = 1,9624.

Границы доверительного интервала вычисляются по формуле: .

Находим доверительный интервал для математического ожидания:

14,69517692< M{x} < 16,37977836.

e) Определим доверительный интервал наблюдения генеральной дисперсии рассеяния.

Найдем значения статистики χ² Пирсона при уровнях значимости α/2 = 0,025 и 1 – α/2 = 0,975 с помощью функций ХИ2.ОБР(0,975; N-1) и ХИ2.ОБР(0,025; N-1): χ² (0,975; 984) = 1071,782538, χ² (0,025; 984) = 898,0055191.

Границы доверительного интервала вычисляются по формулам: и .

Находим доверительный интервал для генеральной дисперсии рассеяния:

166,2684982< S²{x} < 198,4438505.

2. Дисперсионный анализ

По данным варианта №15 из папки «ДА» выполним двухфакторный дисперсионный анализ.

Данные представлены в таблице 2.

Таблица 2