Примеры расчета линейных электрических цепей методом узловых напряжений

Пример 4.1

Рис. 4.1

Дано: ; ; ; ; ; Определить все токи в схеме рис. 4.1 методом узловых напряжений.

Решение

Цепь содержит три узла, ветви с идеальными Э.Д.С. отсутствуют. Число необходимых уравнений, определяемое по формуле (4.1), равно двум. В качестве базисного выбираем третий узел.

Система уравнений имеет вид:

,

где

;

;

;

;

.

В результате решения определяем:

;

.

Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома:

;

;

;

;

.

Правильность решения задачи целесообразно проверить составлением и расчетом баланса мощностей.

Уравнение баланса мощностей:

;

;

.

Мощность приемников равна мощности потребителей, т.е. баланс мощностей выполняется.

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа для внешнего контура.

Второй закон Кирхгофа:

;

;

.

Ответ: , , , , .

Пример 4.2

	Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; .
Рис. 4.2

Определить токи в схеме рис. 4.2 методом узловых напряжений.

Решение

В схеме 4 узла. В ветвях 3 и 6 включены идеальные источники Э.Д.С., эти ветви соединяются в узле 4. По формуле (4.1) определяем число уравнений: .

Действительно, если за базисный узел принять узел 4 (но также можно принять узел 1 или 3), то сразу определяем и . Неизвестным является узловое напряжение .

Уравнение по методу узловых напряжений имеет вид:

.

где

;

;

;

;

;

.

Определяем токи , , , , по закону Ома:

; ;

; ; .

Токи и определяем по первому закону Кирхгофа:

;

.

Ответ: , , , , , .

Пример 4.3

	Дано: ; ; ; ; ; .
Рис. 4.3

Решение

Особенностью схемы является наличие двух ветвей с идеальными источниками Э.Д.С., которые расположены в ветвях, не имеющих общего узла. В этом случае цепь подвергается следующему преобразованию. В одной из ветвей, содержащих идеальный источник Э.Д.С. (например ветвь с ), включают компенсирующую Э.Д.С. , равную по величине и противоположную по направлению. Точно такая же Э.Д.С. включается во все соседние ветви, сходящиеся в одном из узлов данной ветви. Направления включаемых Э.Д.С. по отношению к этому узлу сохраняется (рис. 4.4). Токораспределение в цепи не изменяется.

Рис. 4.4

Рисунки 4.5 а, б, в – демонстрируют это преобразование.

Теперь схема (рис. 4.5 в) содержит только одну ветвь с идеальным источником Э.Д.С. . Потенциалы узлов 1 и 2 равны, т.к. их соединяет короткозамкнутый участок (рис. 4.5 а). Следовательно ветвь с можно удалить из схемы. Примем узел 4 за базисный, тогда

.

Уравнение по методу узловых напряжений имеет вид:

_,

где

; ; ;

; ; .

а

б

в

Рис. 4.5

Переходим к исходной схеме (рис. 4.3). Запишем уравнение по 1–ому закону Кирхгофа для узла 3:

,

откуда

.

Запишем уравнение по 1–му закону Кирхгофа для узла 4:

,

откуда

.

Ток в ветви 5 определим по закону Ома:

.

Ток в ветви с идеальной Э.Д.С. определим по 1–му закону Кирхгофа:

.

Ответ: , , , , .

Пример 4.4

	Дано: ; ; ; ; ; . Определить токи в схеме рис. 4.6 методом узловых напряжений.
Рис. 4.6