Случай многих конкурирующих расходуемых товаров

Введем дополнительный параметр _i - скорость расхода i-го товара. Тогда формула (17) примет вид :

Ni(t)=[ i ( N0 -Nk(t)) - i Ni(t) ]t



И, соответственно, вместо выражения (18) получим :

N i (t) + i Nk(t) + i Ni(t) =i N0

(21)

Запишем систему дифференциальных уравнений в матричной форме. Тогда:

N (t) = N0  - (A + E ) N(t)

(22)

где : N(t) = { N_i(t) } – матрица-столбец,

 = { _i } – матрица-столбец,

А = { A_ij } – квадратная матрица, коэффициенты которой A_ij = _i ,

 = { _i } – матрица-столбец,

Е = { Е_ij } – единичная матрица, коэффициенты которой Е_ij = _ij

Решение этой системы (в матричной форме) будет иметь вид :

N(t) = N0 ( E - e -(A + E )t ) [( A + E )-1 ]

(23)

где матричная фукция e ^{-(A + E )t} является матрицей размера mxm, определяемой в соответствии с разложением в ряд по стереням (A + E ). Следует отметить, что разложение этой экспоненты требует громоздкого перемножения матриц.

В качестве упрощенного варианта общего случая рассмотрим допущение ₁=₂==_m=. (Это имеет смысл, например, при рассмотрении различных видов колбасы – скорость “расходования” их можно считать одинаковой).

Тогда, используя суммирование по i всех уравнений системы (18) , получаем новое уравнение:

N0(t) + (0 +) N0(t) =i N0

(24)

где N₀(t) =N_k(t). Решением этого уравнения будет:

N0(t)=0/(0+) N0( 1 – e - (0+)t )

(25)

Само же уравнение (18) перепишется в виде :

N i (t) + i Ni(t) =i (N0 – N0(t))

(26)

решением которого будет :

Ni(t)=i/(0+) N0( 1 – e - (0+)t )

(27)

Заключение.

В конце концов у меня вот о чём. В формулах, получившихся в математической экономике, имеют любопытную экспонентную S-образную формулу, начиная с формулы (7). А ведь такая S-образная формула упоминается и в ТРИЗе, и в Общей теории систем алгоритмов, и в эволюции, и ещё бог знает где (возможно, в прогнозировании экономических катастроф?).

Если в данной конкретной ситуации арифметической экономики, например, этот конкретный тренд имеет рост. Следовательно, имелся бы смысл вкладывать финансы в развитие этого тренда. А в математической экономике, этому же вполне себе соответствует к первой производной этой самой S-образной формуле. Однако, кроме первой производной, можно бы было поинтересоваться и второй производной. И влияние этой второй производной могла бы как увеличение этого роста, так и уменьшение его, её инфляции, или, не дай бог, обрушение данной системы. А ведь эта экспонентная S-образная формула, например, вполне совпадает в физике с формулой полураспада, например, U²³⁵.

Лично мне исключительно тяжело продолжать развитие данную такую теорию. В лучшем случае, другие, уже умные и ещё здоровые, люди могли бы продолжить эту тему, а я бы, обрадовавшись, занялся бы физикой. В худшем - могли бы объяснить мне мои ошибки, а я бы это понял и, вздохнув, занялся бы физикой. А в самом худшем случае, какие бы креативные и продвинутые меня бы обругали и оплевали, или вообще бы никто просто не прочитал эту мою чушь. Тогда бы мне пришлось попытаться продолжить все дальше.

Как бы я сказал, либо мне повезёт - либо сам повезу. В смысле кое-как потащу.

С уважением,

Ёлочкин Сергей Владимирович

Россия, Тюмень, ecb@list.ru