Математическая экономика. Введение

"В последние полтора-два столетия в мире действовали различные типы экономических систем: две рыночные системы, в которых доминируют рыночное хозяйство, - рыночная экономика свободной конкуренции (чистый капитализм) и современная рыночная экономика (современный капитализм), и две нерыночные системы - традиционная и административно-командная. В рамках той или иной экономической системы существуют многообразные модели экономического развития отдельных стран и регионов." (ЭКОНОМИКА, Учебник для экономических академий, вузов и факультетов. Издательство БЕК, Москва, 1995, стр. 19).

Кроме того, я почитал и "Капитал" и "Манифест Коммунистической партии", и у меня возникло странное ощущение, что вся нынешняя экономика - проявляя и академичность, и страстность её - есть экономика АРИФМЕТИЧЕСКАЯ. Высшее изучение развития человечества приводит к созданию и изучению трендов. Что же дальше? Как бы мне не было тяжело об этом говорить, я всё-таки попытаюсь использовать экономику МАТЕМАТИЧЕСКОЙ. Я постараюсь полностью не использовать эмоции, и посмотрим, что из всего этого в конце концов получится.

Рассмотрим, как частный случай, математическую экономику объёма продаж.

Случай единственного товара

Пусть имеется некий товар, который (в простейшем случае) является единственным, удовлетворяющим некоторую потребность.

Общий потенциальный платежеспособный спрос на этот товар (при фиксированной цене) обозначим как N₀. Таким образом N₀ - общее число потенциальных покупателей данного товара, которые могут себе позволить его купить.

Введем понятие величины “плотность информационного охвата”, которая представляет собой вероятность того, что покупатель узнает о существовании товара за единицу времени. Обозначим эту величину - 

Очевидно, что общее число покупателей, информированных о товаре, есть функция времени, которую можно обозначить как N(t). Исходя из приведенных выше определений, можно определить количество покупателей, которые узнают о существовании товара за период времени с момента t до момента t+t :

N(t)=( N0 -N(t))t

(1)

Преобразуя (1) и переходя к пределу при t0, получим дифференциальное уравнение

N(t)+ 1/ N(t)=N0

(2)

Решение этого уравнения имеет вид :

N(t)=N0( 1 – e - t )

(3)

Введем далее понятие величины “привлекательность товара”, которая представляет собой вероятность того, что покупатель, информированный о товаре, в течение единицы времени решится на его приобретение. Обозначим эту величину - .

Общее число покупателей, приобретших товар к моменту времени t, обозначим как I(t). Тогда, используя определение величины “привлекательность товара”, можно записать число покупателей, приобретших товар за период времени с момента t до момента t+t :

I(t)= ( N(t) -I(t))t



Преобразуя (4) и переходя к пределу при t0, получим дифференциальное уравнение

I(t)+ 1/ I(t)=N(t)

(5)

Используя выражение (3), перепишем дифференциальное уравнение (5) в виде :

I(t)+ 1/ I(t)= N0 ( 1 – e - t )

(6)

Решая уравнение (6) относительно I(t), получим :

I(t)=N0(1+1/(-) (  e - t -  e-t ) )

(7)

Очевидно, что функция I(t) не определена в случае, когда =Для устранения этой неопределенности перейдем к пределу при  :

lim  I(t) = N0 (1 – (t+1) e - t )

(8)

Таким образом, функция I(t) есть не что иное, как общее число продаж товара к моменту времени t. Для того, чтобы определить функцию зависимости скорости продаж от времени, которую можно обозначить как J(t), достаточно найти производную функции I(t) по времени :

J(t) = N0 (/(-)) (-e - t + e-t )

(9)

Для случая  формула (9) перепишется в виде :

J(t) = N0 2t e - t

(10)