Основні позначення

R- множина усіх дійсних чисел.

N- множина усіх натуральних чисел.

- множина неперервних на усій осі функцій.

- ідеальний сплайн Ейлера, порядку r.

- простір вимірних і суттєво обмежених функцій f: R R з нормою .

, - простір функцій f: R R таких, що похідна локально абсолютно неперервна і .

.

,

,

Для та X=C(R) або , = .

- клас усіх функцій f, які мають r-1 похідну, - локально абсолютно неперервна і , .

Розділ 1. Відомі результати

Введемо поняття функції порівняння.

Скажемо, що є функцією порівняння для функції f , якщо різниця -[f(t+ )+c] на кожному проміжку монотонності або не змінює знак, або змінює один раз, до того ж з «+» на «-» там, де спадає, і з «-» на «+» там, де зростає. Зрозуміло, що якщо функція є функцією порівняння для функції f(t), то функція є функцією порівняння для функції f(t) .

Функції порівняння відомі для багатьох класів (див. наприкл. [1], [3], [6], [7], [9], [10] та інші). В наступних підрозділах ми наводимо деякі з відомих результатів стосовно цієї тематики.

1. Теорема порівняння, симетричний випадок

Нехай (r=1,2,….)- множина заданих і r-1 раз неперервно диференційованих на усій осі функцій f(t) таких, що і .

Покладемо

У якості функцій порівняння будуть виступати ідеальні сплайни Ейлера (див. [1], c. 64).

Для покладемо де - ідеальний сплайн Ейлера, тобто - та періодична первісна функції sign (sin (t)) (див. рис.1,2).

Тоді .

λ

t

рис.1

λ

рис. 2

Теорема порівняння у цьому випадку має вигляд (див. [2], с. 119) :

Теорема А. Нехай . Якщо функція і число λ вибрано так, що , то функція є функцією порівняння для функції .

Існує аналогічне формулювання цієї теореми.

Теорема B. Нехай і при деякому . Якщо такі, що f(ξ)= , тоді .

1.2 Несиметричний випадок

Існує певне коло задач аналізу, в якому замість «симетричного» класу доводиться розглядати його «несиметричний» аналог. Далі буде наведений «несиметричний» аналог теореми порівняння (див. [2], с. 127).

Для чисел позначимо ,

де та - відповідно додатна та від’ємна частини функції f(t), а через позначимо клас функцій , таких, що

.

Екстремальною функцією у цьому класі буде несиметричний ідеальний сплайн Ейлера , який визначається наступним чином:

де число γ=γ(α,β) обрали так, щоб виконувалось рівняння

звідси γ=

Продовжимо її періодично на усю вісь. - первісна із нульовим середнім на періоді від функції , тоді (див. рис. 3,4).

λ

-

t

λ

рис. 3

рис. 4

У несиметричному випадку справедлива наступна теорема порівняння (див. :

Теорема C. Нехай ; і число λ обрали так, що для всіх

Тоді функція є функцією порівняння для функції .