4 . Свойства вероятности и следствия из них.

Аксиомы:

1. Каждому событию А соответствует неотрицательное действительное число Р(А), называемое вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице, то есть  .

3. Если А и В – несовместные события, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Следствия из аксиом теории вероятностей: 

1. Вероятность события  , противоположного событию А вычисляют по формуле:

.

Доказательство: Так как события А и   противоположны, то  и на основании аксиом 2 и 3 имеем  , откуда следует искомое равенство  .

2. Вероятность невозможного события равна нулю, то есть:

.

Доказательство: Так как  , то на основании следствия 1 имеем:  .

3. Если событие А влечет за собой событие В, то вероятность события А меньше или равна вероятности события В, то есть  , если  .

Доказательство:

Пусть  , тогда   где  .  Согласно аксиоме 3 имеем  , но   (аксиома 1). Отсюда  .

4. Вероятность события А есть число, заключенное между нулем и единицей, то есть  .

Доказательство:

Из соотношения  и аксиомы 1 следует  и  , следовательно  .

5. Если А и В два произвольных события, которые могут и пересекаться, то справедливо соотношение  .

Доказательство:

Представим объединение событий А и В в виде суммы двух непересекающихся событий А и  , то есть  , с другой стороны  , где  . Согласно аксиоме 3 имеем .  Из последних равенств получаем  .

Примечание. Аксиомы теории вероятностей были сформулированы в 30 – х годах 20 столетия академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым. (1903 – 1987).

Замечание. Вероятность, как следует из сказанного выше, рассматривается как функция от случайного события. 

5. Классическая вероятность. Дискретное вероятностное пространство.

Статистическое определение вероятности. Вероятностью события  называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события  принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний. 

Дискретное вероятностное пространство, примеры.

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Дискретные вероятностные пространства.

Если множество элементарных исходов   конечно или счетно:  , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества  . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу   число   так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события B задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей, когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.