Дифференциальные уравнения движения Эйлера
Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, движущейся без трения. Выделим в потоке элементарный параллелепипед объемом dV=dxdydz, ориентированный относительно осей координат.
Сила тяжести действующая на параллелепипед выражается произведением его массы dm на ускорение свободного падения g т.е. равна gdm.
р – сила гидростатического давления.
Основной принцип статики: сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю.
Проекции на оси координат сил тяжести и давления составит:
на оси х
на оси y
на оси z
Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущейся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.
Масса жидкости в рассмотренном объеме dm = ρdxdydz
Если жидкость
движется со скоростью ω, то ее ускорение
равно
,
а проекции ускорения на оси координат:
где
- составляющие скорости вдоль осей x,
y,
z.
В соответствии со основным принципом динамики:
или после сокращения
(1)
или согласно субстанциональным производным соответствующих составляющих скорости получим.
Субстанциональная производная характеризует изменение какого-либо параметра или свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве.
(2)
Система уравнений (1) с учетом выражений (2) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока.
При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке.
Тогда для неустановившихся условий имеем:
(3)
Система уравнений (1) с учетом выражений (3) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.
Интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения движения Навье – Стокса
При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.
Действе сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости элементарный параллелепипед проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений. Рассмотрим первоначально простой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости ωх зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчета.
В этих условиях
касательные напряжения возникают лишь
на поверхностях dF
верхней и нежней граней элементарного
параллелепипеда, причем dF
= dxdy.
Если касательное напряжение на нижней
грани параллелепипеда равно τ, то на
верхней оно составит
.
При этом направления
касательных напряжений на нижней и
верхней гранях обусловлены, например,
тем, что более медленные вышележащие
слои жидкости затормаживают слой, в
котором находится параллелепипед, а
более быстрые нижележащие слои «разгоняют»
его. Производная
выражает изменение касательного
напряжения вдоль оси z
в точках, лежащих на нижней грани
параллелепипеда, а
представляет собой изменение этого
напряжения вдоль всей длины dz
ребра параллелепипеда.
Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х
В общем случае проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид
Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа:
Следовательно
Соответственно проекции равнодействующей сил трения:
на ось у
на ось х
Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют:
на ось х
на ось у
на ось z
Согласно основного
принципа динамики (сумма проекций сил
на оси координат равны произведению
массы жидкости
на
проекции ускорения на оси координат).
(1)
Уравнения (1) представляют собой уравнения Навье – Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости.
Интегральная форма представлена уравнением Пуазейля – характеризующие ламинарное установившееся.