126

Лабораторная работа № 18

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКОВ

Цель работы – изучение колебательного движения математического и оборотного маятников и определение значения ускорения силы тяжести.

1. Описание установки и метода измерения

Рис. 1

Схема экспериментальной

установки представлена на

рис. 1. Основание 1оснащено

регулируемыми ножками 2,

которые позволяют произ-

вести выравнивание прибора.

В основании закреплена ко-

лонка 3, на которой зафикси-

рован верхний кронштейн 4

и нижний кронштейн 5с

фотоэлектрическим датчиком 6.

После отвинчивания во-

рота 11 верхний кронштейн

можно поворачивать вокруг

колонки. Закрепление ворота 11 фиксирует кронштейн в любом произвольно выбранном положении. С одной стороны кронштейна 4 находится математический маятник 7, с другой – на вмонтированных вкладышах – оборотный маятник 8.

Длину математического маятника можно регулировать при помощи ворота 9, а ее величину можно определить при помощи шкалы на колонке3.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором закреплены два груза 13 и две повернутых друг к другу опорных призмы 12 – подвижная и неподвижная (рис. 2).

На стержне через каждые 10 мм выполнены кольцевые нарезки, служащие для определения длины оборотного маятника (расстояния между ножами). Призмы можно перемещать вдоль оси стержня и фиксировать в любом положении.

Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранном положении. Фотоэлектрический датчик соединен с привинченным к основанию электронным миллисекундомером 10.

Рис. 2

Маятник

Принято различать математический и физический маятники. Физический маятник — это твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг оси не совпадающей с его центром масс.

Рассмотрим тело массы m, закрепленное на оси (см. рис. 3).

Рис. 3

При отклонении маят-

ника от положения равно-

весия на угол возникает

вращающий момент силы

тяжести, стремящийся

вернуть его в исходное

состояние.

Проекция этого момента

на ось Z равна М_z= –mgbsin.

Здесь b – расстояние от точки

подвеса до центра масс. Знак минус

указывает на то, что момент силы тяжести стремится вернуть тело в положение равновесия. Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен I, то воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения тела I_z   M_z, получим

.

Разделив на I и учитывая, что при малых углах  sin  , имеем

.

Введем обозначение .

Получим уравнение

,

решение которого имеет вид

 = ₀ cos (₀t + ₀),

где ₀ – собственная частота системы; ₀ – начальная фаза; ₀ – амплитуда колебаний.

Тогда период колебаний физического маятника выразится формулой

. (1)

Математический маятник представляет собой систему, состоящую из невесомой нерастяжимой нити длиной , на которую подвешен точечный груз массы m (рис. 4). Так как момент инерции такой системы I = m², то из формулы (1) легко получить период колебаний математического маятника

. (1)

Период колебаний такой системы не зависит от массы груза m.

Рис. 4

Измерив период Тколе-

баний математического маят-

ника и его длину , можно из

формулы (1) найти ускоре-

ние силы тяжести gпо фор-

муле

. (2)

Величина периода колебаний Топределяется экспериментально по формуле

, (3)

где n – количество полных колебаний; t – время n полных колебаний.

Согласно формуле (1) период колебаний физического маятника равен

, (4)

где I – момент инерции физического маятника относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса О; m – масса физического маятника; b – расстояние ОС (от точки подвеса до центра масс).

Из формул (1) и (4) следует, что математический маятник, длина которого

, (5)

будет иметь такой же период колебаний как и данный физический маятник. Данную величину называют приведенной длиной физического маятника _пр. Если точку подвеса физического маятника перенести вдоль прямой ОС на расстояние _пр (см.рис.3), то приведенная длина маятника в новом положении, а, следовательно, и период колебаний, останутся те ми же, что и вначале.

Преимущество оборотного маятника состоит в том, что его приведенную длину можно установить, не пользуясь формулой (5), т.е. не зная его массы и момента инерции.

Точка К (рис. 3), лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром масс С на расстоянии ОК = _пр, называется центром качаний. Можно показать, что приведенная длина _пр  b, так что точка подвеса и центр качаний лежат по разные стороны от центра масс.

Точка подвеса и центр качаний К обладают свойством взаимности. Если перенести точку подвеса в центр качаний, то новый центр качаний совпадает со старой точкой подвеса. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качаний приведенная длина физического маятника не меняется, и поэтому период колебаний сохраняет свое значение. Это свойство, установленное Гюйгенсом, доказывается следующим образом. Обозначим через I, _пр, b момент инерции, приведенную длину и расстояние от точки подвеса до центра масс для новой точки подвеса. Приведенная длина соответственно .

По теореме Штейнера I = I_c + mb², I = I_c + m(b)², и поэтому

I = I - mb² + m(b)² = I + m(b + b) (b - b). Используя (5) и геометрически очевидное соотношение b + b = _пр, находим

.

Таким образом, если у физического маятника найдены две точки подвеса, лежащие несимметрично по разные стороны от центра масс, и период колебаний маятника при подвесе в этих точках одинаков, то расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. Ускорение силы тяжести в этом случае может быть найдено из формулы

, (6)

где _пр – приведенная длина оборотного маятника, понимаемая как расстояние между призмами; Т – период колебаний оборотного маятника.

Величина периода определяется на основании полученных результатов эксперимента по формуле (3).

Таким образом, измерения сводятся к определению периода колебаний оборотного маятника для расстояния между призмами, равном _пр.